Решение уравнений и систем уравнений

В аналитической химии для точного расчета рН, растворимости малорастворимых соединений, функций распределения и других задач часто возникает необходимость в решении уравнений высоких степеней, а также систем уравнений, в том числе и нелинейных. СКМ Mathematica для решения такого рода задач использует функцию NSolve:

Как видно из вышеприведенных примеров, СКМ находит все существующие корни уравнения - – и действительные (положительные и отрицательные), и мнимые и выводит их в строку вывода. Если система содержит много уравнений, то вывод может занимать несколько страниц и достаточно утомительно найти нужный с точки зрения химии ответ.

Выделение нужного ответа, удовлетворяющего законам химии, осуществляется несколькими путями.

Первый путь – это элиминировать, т.е. заблокировать вывод ненужных корней. Например, при решении системы трех уравнений с неизвестными x,y,z нам необходимы только х-корни. В этом случае надо использовать конструкцию: NSolve[eqns,vars,elims]:

Как видно из этого примера, СКМ выдает в строку вывода только значения х-корней.

Второй путь – это вывод только положительных корней. Действительно, при расчете, например, растворимости отрицательное значение противоречит химическому смыслу. Растворимость – это положительная величина и нет никакого резона выводить отрицательные и комплексные ответы. Для вывода только положительных х-корней дополним последнюю программу соответствующей строкой, а для округления ответа до n-значащих цифр функцией NumberForm [%,n].

* Знак процента (%) означает обращение к результату, полученному в предыдущей строке.

Как видно из последней программы, СКМ выделила только положительные х-корни и округлила их до 4-х значащих цифр.

В некоторых случаях для решения систем уравнений можно использовать графическую визуализацию решения. В качестве примера рассмотрим графическое решение квадратного уравнения:

Графическое решение – это координаты точек пересечения параболы с осью OX. Как видно из рисунка, графическое решение соответствует результатам численного решения этого уравнения через функцию NSolve.

Аналогично можно графически решить и систему уравнений:

Вычисление производных

В аналитической химии очень часто приходится рассчитывать экстремальные значения химических и физико-химических свойств веществ. Например, необходимо рассчитать концентрацию лиганда, обеспечивающую максимальную мольную долю комплекса или рассчитать минимальную растворимость малорастворимого соединения в избытке осадителя, обладающего комплексующими свойствами.

При решении такого рода задач невозможно обойтись без вычисления производной, так как именно в точке экстремума она обращается в ноль. Т.е. необходимо сначала найти производную от некой функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Для вычисления производной используется машинная функция D:

Как видно из справки, синтаксис этой функции крайне прост и не должен вызывать затруднений на практике.

В качестве примера рассмотрим расчет рН, при котором мольная доля однозарядных H₂PO₄^- -анионов максимальна.

В соответствии с теорией мольная доля однозарядных H₂PO₄^- - анионов рассчитывается по уравнению:

где К_а1, К_а2 и К_а3 – ступенчатые константы кислотной ионизации фосфорной кислоты; [H⁺] – равновесная концентрация катионов водорода.

Условие максимума имеет вид:

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо найти первую производную от по концентрации катионов водорода, затем приравнять полученное выражение к нулю, решить его относительно [H⁺] и рассчитать рН.

Реализуем этот алгоритм в СКМ Mathematica.

Как видно из этой программы, дифференцирование и решение уравнения совмещены. После вывода результатов по концентрации катионов водорода выбирается положительное значение, рассчитывается рН и результат округляется до 3-х цифр. В итоге получаем, что максимальная доля однозарядных H₂PO₄^- - анионов наблюдается при рН 4,66.

А теперь нарисуем график зависимости от рН.