1) Проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии:

Н0: бj=0 (гипотеза о равенстве 0 (незначимости) истинного коэффициента регрессии при j–ом факторе).

Н1: бj0.

Статистика критерия проверки данной гипотезы:

S_bj=bj/(bj),

bj – оценка коэффициента регрессии бj, полученная по данным наблюдений.

(bj) – стандартная ошибка коэффициента регрессии;

(bj)=(Y_i-Y’i)²/[(n-2)(Xj_i -Xjcp)²].

Данная статистика имеет распределение Стьюдента с (n-h) степенями свободы (где n- число наблюдений; h- число оцениваемых параметров).

Критическое значение статистики определяется по таблицам Стьюдента для уровня значимости =1- и числа степеней свободы (n-h).

Если S_bj<Sкр, то с вероятностью  можно утверждать, что нет оснований отвергать гипотезу Н0. Если S_bj>Sкр, то Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1 о значимом отличии от 0 коэффициента регрессии.

Для нашего примера Y’=11,48+0,075*X1-0,345*X2.

(b1)=0,015; (b2)=0,0694; (а)=1,298;

S_b1=0,075/0,015=5,016; S_b2=-4,97; S_a=8,84.

k=10-3=7 (число степеней свободы).

Sкр(=0,05;k=7)=2,36; Sкр(=0,01;k=7)=1,89.

Так как S_набл>Sкр , то параметры уравнения могут считаться значимыми с вероятностью 95% (а также 90%).

На практике можно не искать Sкр, а использовать следующее правило: если Sкр>2 Н0 можно отвергнуть и с вероятностью 95% утверждать, что бj статистически значим. При небольшом числе наблюдений (Sкр>3).

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии используются также для построения доверительного интервала истинного коэффициента регрессии бj.

bj-(bj)*Sкр<=бj<=bj+(bj)*Sкр.

Для нашего примера: с вероятностью 95% построим доверительный интервал для коэффициентов регрессии:

0,075-2,36*0,015<=б1<=0,075+2,36*0,015 0,0397<=б1<=0,11

-0,345-2,36*0,0694<=б2<=-0,345+2,36*0,0694 -0,51<=б2<=-0,181

3. Применение F-критерия Фишера для оценки значимости коэффициента множественной детерминации и уравнения в целом.

H0: R²=0 или б1=б2=...=бm=0 (гипотеза о незначимости уравнения).

Для ее проверки строится таблица результатов дисперсионного анализа.

При этом необходимо помнить, что число степеней свободы объясненной (факторной) дисперсии равно h-1, а число степеней свободы остаточной дисперсии равно n-h.

Компоненты вариации	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы (k)	Дисперсия на 1 степень свободы (S)	F-критерий
Объясненная	(Y’i-Ycp)2	h-1	Sфакт=(Y’i-Ycp)2/(m-1)	Sфакт/Sост
Остаточная	(Y’i-Yi)2	n-h	Sост=(Y’i-Yi)2/ (n-m)
Общая	(Yi-Ycp)2	n-1	Sобщ=(Yi-Ycp)2/(n-1)

По таблицам распределения Фишера находят Fкр для уровня значимости  и числа степеней свободы k1=h-1 и k2=n-h.

Сравнивают Fнабл с Fкр(;k1;k2). Если Fнабл<Fкр(;k1;k2), то Н0 не отвергают. Если Fнабл>Fкр(;k1;k2), то Н0 отвергают и принимают гипотезу о значимости уравнения.

Для нашего примера:

Н0: R²=0 или б1=б2=0.

Компоненты вариации	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы (k)	Дисперсия на 1 степень свободы (S)	F-критерий
Объясненная	137,467377	2	68,73369	45,680
Остаточная	10,53262297	7	1,50466
Общая	148	9

Fкр(=0,05;k1=2;k2=7)=4,74.

Так как Fнабл=45,68>Fкр(;k1;k2), то Н0 можно отвергнуть и с вероятностью 95% утверждать, что коэффициент детерминации считается значимым и построенная модель адекватно описывает исходные данные.

Примечание: Фактическое значение F-критерия можно определить через коэффициент детерминации с учетом изменения числа степеней свободы:

F=R²/(1-R²)*(n-h)/(h-1), где n-число наблюдений; h – число оцениваемых параметров.