4. Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный f–критерий).

Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Это может быть связано с последовательностью вводимых факторов (т.к. существует корреляция между самими факторами). Мерой оценки включения фактора в модель может служить частный F-критерий (F_xj).

Допустим, что оценивается значимость фактора Х1, как дополнительно включенного в модель:

В общем виде:

в числителе – прирост доли вариации Y за счет дополнительно включенного в модель фактора.

Если F_xj>Fкр(;k1=1;k2=n-h), то дополнительное введение фактора в модель статистически оправдано.

С помощью частного F–критерия можно проверить значимость введения фактора в модель, если ставить его на последнее место.

Рассмотрим методику расчета частного F–критерия на нашем примере.

1. По исходным данным построили уравнение регрессии зависимости результата только от фактора Х1 – численности населения: Y’^x1=6,1+0,108*Х1.

2. Определим факторную (объясненную) сумму квадратов: (Y’^x1_i-Ycp)²=47,7.

3. Включаем в модель дополнительный фактор Х2- расстояние от центра. По множественному уравнению получим следующую таблицу дисперсионного анализа:

   Компоненты вариации	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы (k)	Дисперсия на 1 степень свободы (S)	F-критерий
   Объясненная	137,5	2	68,7	F=45,68
   В т.ч.: Х1	47,7	1	47,7	Fx1=47,7/1,5=31,7
   Х2	89,8	1	89,8	Fx2 част=89,8/1,5=59,66
   Остаточная	10,5	7	1,5
   Общая	148	9

4. Теперь можно определить отношение не только отношение всей факторной дисперсии к остаточной, но и отношение отдельных ее компонентов (F_x2 част), которые позволяют оценить значимо ли дополнительное включение в модель фактора Х2. F отношение для Х1 (F_x1)- это некоторая условная величина.

5. Определим F_x2 кр (0,05;1;7)=5,59.

6. Сравним F_x2 част и F_x2 кр. Так как F_x2 част >F_x2 кр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что дополнительное включение в модель фактора Х2 целесообразно, т.к. доля дисперсии, объясненной за счет дополнительного включения в модель этого фактора статистически значимо.

Аналогично определяется частный F-критерий для фактора Х1:

F_x2 част =89,07/1,5=59,2 >F_x2 кр , т.е. дополнительное включение фактора Х1 в модель статистически оправдано.

Соотношение между S–критерием Стьюдента и F–критерием.

Во множественной регрессии : Y’=a+bj*Xj S_bj²= F_xj част.

Покажем это: S_bj=bj/(bj); (bj)=(Y-Y’)²/[(n-m)(X-Xcp)²];

(Y-Y’)²/n=_y²(1-R²_yx1x2...xm); (X-Xcp)²=_xj²(1-R²_xjx1x2...xm);

R²_xjx1x2...xm- коэффициент детерминации зависимости Хj от всех других факторов модели.

Тогда (bj)= 1/(n-h)*_y(1- R²_yx1x2...xm)/ _xj(1-R²_xjx1x2...xm);

bj=_y/_xj*j=_y/_xj*(R²_yx1x2...xm - R²_{yx1x...xj-1xj+1....xm})/( 1-R²_xjx1x2...xm);

S_bj=[(R²_yx1x2...xm - R²_{yx1x...xj-1xj+1....xm})/( 1-R²_yx1x2...xm)]* (n-h)= F_xj;