Задания для самостоятельной работы

7. 1. Вычислить интегралы с помощью непосредственного интегрирования:

а) ;	Б) ;
в) ;	Г) ;
д) ;	Е) ;
ж) ;	З) .

7.2. Вычислить интегралы с помощью метода замены переменной:

;	;
;	;
;	;
;	.

7.3. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям:

;	;
;	;
;	;
;	.

7.4. Разные задачи.

;	;
;	;
;	;
;	.

Ответы

7.1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) . 7.2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .7.3. а) ; б) ; в)e ; г) ; д) ; е)xarcsin3x+3 ; ж) ; з)- .7.4. a) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ж) ; з)e .

7.2. Интегрирование рациональных функций Краткие теоретические сведения

Рациональными функциями называются функции вида: , где – многочлены степени соответственно.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно, деля числитель на знаменатель, представить в виде суммы многочлена, называемого целой частью дроби, и правильной рациональной дроби.

Например: .

Будем рассматривать правильные рациональные дроби с действительными коэффициентами многочленов в числителе и знаменателе. Среди них назовём простейшими дроби вида: , .

Теорема (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей). Всякую рациональную правильную дробь со знаменателем представимым в виде произведения можно разложить в виде суммы простейших рациональных дробей вида 1 – 2. В этом разложении каждому корню кратности многочлена соответствует сумма k дробей вида , где – действительные числа, называемые неопределёнными коэффициентами.

Примеры решения типовых задач

Рассмотрим два наиболее простых способа нахождения неопределённых коэффициентов на одном конкретном примере.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. I метод – метод неопределённых коэффициентов.

Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: и запишем разложение данной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами: . Приведя к общему знаменателю правую часть, получим равенство числителей: .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях этого равенства.

При .

При .

При .

Тогда и .

Далее находим неопределённый интеграл:

II метод – метод частных значений.

Придадим аргументу столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов, используя в первую очередь корни знаменателя.

,

,

. Тогда получим систему независимых уравнений, из которой имеем: .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами: . Приведя дроби в обеих частях к общему знаменателю, получим: . Найдём неопределённые коэффициенты методом частных значений, придадим аргументу последовательно значения –1, 1, 0. Получим систему: , откуда и . Таким образом: .

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Выделим целую часть дроби:

.

Разложим знаменатель дроби на множители с действительными коэффициентами:

. Умножая это равенство на общий знаменатель, получим: . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

При .

При .

При . Тогда и

. Итак, вычислим неопределённый интеграл: .