1. Механізм в'язкого плину

Механізм в'язкого плину при спіканні спресованих порошків уперше був запропонований Я.І.Френкелем у 1946 році.

В основі теорії Я.І. Френкеля лежить ідея про в'язкий плин твердих тіл, що протікає як спрямоване переміщення вакансій, кількість яких зростає з температурою, що здійснюється сходом атомів зі своїх місць під дією теплових коливань.

Рівноважне число вакансій при даній температурі дорівнює (2.11):

Переміщення атомів полягає в послідовному заміщенні ними вакансій. Цей рух визначається коефіцієнтом дифузії вакансій D_в , що зв'язаний з коефіцієнтом самодифузії виразом:

По Френкелю при спіканні має місце два процеси: злиття часток і в'язке запливання, пор що утворюються й існують. Обидва процеси розглядаються Френкелем як в'язкий плин під дією сил поверхневого натягу.

Д ля з'ясування механізму спікання розглянемо схему (рис.24):

Рисунок 24 – Схема злиття часток по Френкелю

Передбачається, що частки мають сферичну форму, тому вони в початковий момент стикаються в одній точці. І як видно з рисунка, по мірі спікання точка дотику буде перетворюватися в площину. Передбачається також, що

,

Вільна поверхня часток, що спікаються, зі зміною кута φ зміниться за законом:

(6.2)

чи з точністю до кута φ, приймаючи, що , при φ << 1

(6.3)

Як відомо спікання відбувається за рахунок сил поверхневого натягу, тобто за рахунок зниження вільної енергії поверхні. Робота сил поверхневого натягу при спіканні буде витрачатися на деформацію часток у зоні контакту.

У зв'язку з цим для з'ясування закону зміни кута φ в часі (чи, що одне і теж x=f(τ) ) варто прирівняти роботу сил поверхневого натягу A_s до роботи сил внутрішнього тертя, зв'язаної з розглянутою деформацією.

Робота сил поверхневого натягу дорівнює:

чи

, (6.4)

де: σ - поверхневий натяг.

, (6.5)

де η - коефіцієнт в'язкості;

V - загальний обсяг деформації тіла = , тобто

ε - відносна деформація сукупності двох куль, тобто зменшення відстані між центром однієї з крупинок і поверхнею її контакту з іншою.

(6.6)

Тоді для роботи внутрішніх сил можна записати:

(6.7)

Прирівнюючи вирази (6.7) і (6.4) і приймаючи як градієнт швидкості злиття крапель

одержимо:

Після спрощення:

чи

З огляду на те, що x(τ)=R∙ φ, одержимо

(6.8)

Звідси ми можемо знайти час злиття: двох часток, тобто час спікання. Злиттям часток (крапель) до того моменту, коли простір між ними стає ізольованим, тобто утворяться між частками пори, закінчується перша стадія спікання. Далі по Я.І.Френкелю діє механізм в'язкого запливання пори, під дією сил поверхневого натягу (капілярного тиску). Для з'ясування цього механізму уявимо собі в однорідному в'язкому тілі необмежених розмірів сферичну порожнину зі змінним радіусом R(τ) (рис.25). Під впливом капілярних сил, робота яких дорівнює ( ), останній повинен безупинно зменшуватися. При цьому швидкість часток тіла при запливанні пори (при нездатності стискатися останнього) у виді кульової симетрії повинна мати радіальний напрямок і визначається

, (6.9)

де: r - відстань відповідної крапки від центра порожнини:

Рисунок 25 – Схема запливання пори по Френкелю

На поверхні порожнини, тобто на відстані r = R, ми маємо

(6.10)

З цього випливає, що коефіцієнт β визначається через швидкість зміни радіуса порожнини формулою:

Запливання пори буде можливо лише при рівності робіт сил поверхневого натягу і робіт сил внутрішнього тертя у всьому обсязі тіла (за одиницю часу):

(6.11)

де: - тензор швидкості деформації як і для випадку злиття крапель ε зводиться в нашому випадку до радіальної компоненти

З огляду на це одержимо для роботи сил внутрішнього тертя:

(6.12)

Дорівнюємо ці роботи:

враховуючи, що

,

одержимо:

Після спрощення

чи (6.13)

З цього виразу видно, що запливання пори (усадки) повинно відбуватися з постійною швидкістю (рис.26).

Рисунок 26 – Залежність усадки від часу спікання

Час повного запливання дорівнює:

, (6.14)

де: R_o - початкове значення радіуса пори.