2.2. Углы, используемые для определения положения летательного аппарата

Разнообразие систем координат, используемых часто совместно в конкретной задаче по исследованию движения ЛА, приводит к необходимости установления связи между различными СК. Для рассмотренных групп прямоугольных СК связь между различными системами определяется двумя факторами: во-первых, взаимным положением начал разных СК, т.е. расстоянием между точками и и, во-вторых, взаимным угловым положением осей различных СК. Первый фактор определяется скоростью движения центра масс ЛА относительно земной поверхности; установление связи расстояния со скоростью центра масс ЛА и другими параметрами движения ЛА будет рассмотрено в разделе “Кинематические уравнения движения центра масс ЛА”.

Угловое положение между осями различных пар СК (второй фактор) может быть определено с помощью той или иной системы так называемых эйлеровых углов. Дело в том, что ЛА, вращаясь вокруг центра масс (как вокруг неподвижной точки) имеет три степени свободы и поэтому для того, чтобы полностью определить его положение в пространстве, надо задать три обобщенные координаты. Из классической механики известны три таких угла: угол прецессии , угол собственного или чистого вращения и угол нутации . Задание трех этих углов полностью определяет угловое положение тела (т.е. ЛА) в пространстве. Вместе с тем эти три угла и независимы в том смысле, что каждый из них может быть изменен без изменения двух других углов. Поэтому-то эти углы и могут служить обобщенными координатами тела с так называемой неподвижной точкой. Углы эти называются эйлеровыми углами. Кстати именно эти три угла - , и , “перекочевали” в ракетную технику и ныне известны как так называемая “ракетная” тройка эйлеровых углов. Однако названные эйлеровы углы , и - не единственно возможный выбор обобщенных координат. Так, в механике полета ЛА в атмосфере употребляется несколько иная, так называемая “самолетная” тройка углов Эйлера: угол рыскания (курса) , угол тангажа и угол крена .

Дело в том, что различные варианты организации углов Эйлера определяют большую или меньшую сложность будущих уравнений движения. Но, в любом варианте, углы Эйлера организуются строгой последовательностью поворота одной системы координат относительно другой из исходного положения полного их совмещения в любое произвольное. При этом вид уравнений движения будет проще, если первый поворот осуществить относительно оси, вокруг которой в процессе полета ЛА разворачивается больше всего. Для аппаратов, совершающих полет в достаточно плотных слоях атмооферы (самолеты, крылатые ракеты, ракеты классов "земля-воздух", "воздух-воздух", "воздух-земля" и пр.) такой осью будет ось . Для ракет-носителей (РН) или баллистических ракет (БР) характерны плоские траектории, лежащие в плоскости стрельбы; для аппаратов такого типа наиболее подходящей осью первого поворота является ось .

Углы между осями связанной и нормальной ск (углы , и )

Рассмотрим для начала так нываемую "самолетную" систему эйлеровых углов: угол рыскания (курса) , угол тангажа и угол крена .

Для получения этих углов рассмотрим определенную последовательность углов поворотов осей связанной СК, порождающую вышеназванные углы. Будем считать, что в некоторый исходный момент направления свяэанных и нормальных осей совпадают. В дальнейшем положение нормальных осей остается неизменным. Исходное положение связанных осей обозначим (см. рис. 2.5).

Рис.2.5.

Первый поворот связанных осей производится вокруг вертикальной оси на угол из исходного положения в первое промежуточное положение . При этом вектор угловой скорости первого поворота направлен вдоль оси , а , если поворот производится против часовой стрелки (смотреть с конца оси вращения) - (см. рис. 2.6).

Второй поворот связанных осей проиэводится вокруг оси на угол из первого промежуточного положения во второе промежуточное положение . При этом вектор угловой скорости второго поворота направлен по оси , а , если поворот производится против часовой стрелки (продольная ось расположена выше горизонтальной плоскости ). В результате второго поворота ось занимает свое окончательное положение - (см. рис. 2.6).

Третий поворот связанных осей производится вокруг продольной оси на угол из второго промежуточного положения в окончательное положение . При этом вектор угловой скорости третьего поворота направлен по оси , а , если поворот производится против часовой стрелки (поперечная ось расположена ниже горизонтальной плоскости ). В результате третьего поворота оси и занимают свое окончательное положение.

Итак, тремя вполне определенными последовательными поворотами связанных осей на углы , и связанные оси могут быть помещены в любое заданное (конечное) положение относительно нормальных осей . Схематично рассмотренная последовательность поворотов можно изобразить следующим образом:

При этом первые два поворота помещают в конечное положение ось , а последний поворот вокруг оси переводит в конечное положение оси и .

После рассмотрения последовательности поворотов можно записать определения эйлеровых углов:

• Угол рыскания (курса) - это угол между осью и проекцией продольной оси на местную горизонтальную плоскость ;

• Угол тангажа - это угол между продольной осью и местной горизонтальной плоскостью ;

• Угол крена - это угол между поперечной осью и осью , смещенной в положение, соответствующее нулевому углу рыскания.

Отметим, что использование рассмотренной тройки углов Эйлера опирается на предположение, что выполняется условие . В противном случае векторы и “складываются” и описанный способ определения относительного углового положения теряет смысл. Предъявляемое требование к изменению угла тангажа формирует требование к траектории ЛА и таким образом определяет уже упомянутый класс атмосферных ЛА, к которому применима рассмотренная тройка углов Эйлера.

Для других классов ЛА (РН или БР) применяются иные системы эйлеровых углов, с иной последовательностью поворотов и иными требованиями к предельной величине углов [ ].