Численное интегрирование (Тема №18)

Численное интегрирование производится когда функция задана аналитически и нахождение первообразной затруднено.

Первое – функция аппроксимируется функцией более простого вида, например рядом Тейлора.

Второе – находится первообразная.

Третье – по формуле Ньютона-Лейбница вычисляется интеграл.

Численное интегрирование производится когда подынтегральная функция задана таблично или когда аппроксимация аналитической функции затруднена. В этом случае определённый интеграл заменяется интегральной суммой , где - значение сеточной функции в - узле, , - коэффициент, зависящий от вида аппроксимации.

Метод прямоугольников (локальная постоянная интерполяция):

, где - шаг аргумента от к

, где - среднее значение на - шаге.

Метод трапеций (локальная линейная интерполяция):

Метод Симпсона (параболическая локальная интерполяция)

Чем выше точность аппроксимации (больше количество узлов), тем выше точность вычисления интеграла.

Аналогичные способы используются при расчёте других видов интегралов.

Методы оптимизации (Тема №19)

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. К математической модели оптимизируемой задачи добавляется одна или несколько целевых функций, которые связывают параметры задачи с критериями оценки оптимальности решения, а так же ограничения на параметры.

Своё обобщение методы оптимизации получили в теории исследования операций (принятия решений).

Задача моделирования заключается в отыскании значений (выходных параметров) при каких то заданных (входных параметрах). Задача оптимизации заключается в отыскании таких значений входных параметров, которые будут обеспечивать определённые выходные.

Если целевая функция одна, то оптимизация однокритериальная, если несколько, то многокритериальная. Решение задачи оптимально, если целевые функции принимают требуемое экстремальное значение ( или ).

Решение многокритериальной задачи оптимизации сводится к решению однокритериальной задачи путём замены многих критериев одним ( - весовой коэффициент ценности - критерия) или накладыванием ограничений на неприоритетные критерии.

Одномерная оптимизация (по одному параметру . Многомерная оптимизация – по нескольким параметрам ).

Условная оптимизация – с ограничениями на параметры.

Безусловная оптимизация – без ограничений на параметры.

Если математическая модель объекта проста, то задача оптимизации может быть решена аналитически: .

В более сложных случаях используют метод итераций (последовательного приближения; поиска). В наиболее грубом виде он сводится к простому перебору и локализации экстремальных решений:

Шаг 1 – задаёмся - входными параметрами;

Шаг 2 – рассчитываем модель при заданных входных параметрах и получаем , критерии её эффективности.

Шаг 3 – получив поле реализаций выбираем из них наиболее эффективную.

Более сложные методы оптимизации используются когда нужно и можно обеспечить быструю сходимость к оптимальному решению.

Входные параметры могут быть случайными величинами. Тогда каждый случайный параметр задаётся не числом, а законом распределения. В этих условиях решить задачу оптимизации можно так же методом поиска, но на статистической модели объекта. Шаг 2 в этом случае выглядит следующим образом:

1. Генерируются последовательности чисел количеством для каждого случайного параметра в соответствии с их законами распределения.

2. Производится испытаний (реализаций; прогонок) на статистической модели объекта. Накапливается статистика по выходным параметрам (тоже случайны)

3. Накопленная статистика обрабатывается для получения математических ожиданий и отклонений критериев .

Этот метод статистических испытаний называется методом Монте-Карло. Метод легко реализуется, статистическая модель более адекватна, чем аналитическая, но требует на порядки больше машинного времени.