2.1 Сутність вейвлет-аналізу Порівняння з Фур’є-аналізом.

Протягом багатьох десятиліть і по теперішній час основним засобом аналізу реальних фізичних процесів був гармонійний аналіз. Математичною основою аналізу є перетворення Фур'є. Перетворення Фур'є розкладає довільний процес на елементарні гармонійні коливання з різними частотами, а всі необхідні властивості й формули виражаються за допомогою однієї базисної функції exp(jwt) або двох дійсних функцій sin(wt) і cos(wt). Гармонійні коливання мають широке розповсюдження в природі, і тому зміст перетворення Фур'є інтуїтивно зрозумілий незалежно від математичної аналітики.

Перетворення Фур'є володіє рядом чудових властивостей. Оператор зворотного перетворення Фур'є збігається з вираженням для комплексно - сполученого оператора. Областю визначення перетворення є простір L² інтегрувальних із квадратом функцій, і багато реальних фізичних процесів, спостережувані в природі, можна вважати функціями часу, що належать цьому простору. Для застосування перетворення розроблені ефективні обчислювальні процедури типу швидкого перетворення Фур'є (ШПФ). Ці процедури входять до складу всіх пакетів прикладних математичних програм і реалізовані апаратно в різних процесорах обробки сигналів.

Вейвлетне перетворення має багато спільного з перетворенням Фур'є. У той же час є ряд досить істотних відмінностей. Як приклад розглянемо застосування вейвлет-аналіза до синусоїд f(t)=sin(2πt/T₁)+α sin(2πt/T₂) , що дозволяє легко порівняти з результатами звичайного перетворення Фур'є.

На рисунку 2.1 показаний сигнал у вигляді суми синусоїд, що відрізняються частотами: (y=sin(30*x)+sin(100*x)).

Рис. 2.1 - Сума синусоїд , що відрізняються частотами

Вейвлет-перетворення такого сигналу виявляє періодичну структуру не гірше й не краще перетворення Фур'є. На рисунку 2.2 видні дві широких смуги, що відповідають двом різним частотам.

Рис. 2.2 - Вейвлет перетворення суми синусоїд з різними частотами

Однак відмінність цих двох спектральних аналізів проявляється, коли сигнал являє собою дві послідовні синусоїди з різними частотами ( Рис. 2.3).

Рис. 2.3 - Дві послідовні в часі синусоїди з різними частотами

Як видно з рисунку 2.3 вейвлет-перетворення в цьому випадку дозволяє простежити еволюцію частоти сигналу в часі, тоді як Фур'є-спектр (Рис. 2.5) в обох випадках дасть нам тільки два піки й ніяк не відіб'є сам момент зміни частоти сигналу[12].

Рис 2.4 - Вейвлет-перетворення двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами

Рис. 2.5 - Спектр Фур'є двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами

2.2 Перетворення Фур'є (пф)

В основі спектрального аналізу сигналів лежить інтегральне перетворення й ряди Фур'є. Нагадаємо деякі математичні визначення.

У просторі функцій, заданих на кінцевому інтервалі (0,T), норма, як найбільш загальна числова характеристика довільної функції s(t), по визначенню обчислюється як корінь квадратний зі скалярного добутку функції. У загальному випадку, для комплексних функцій, квадрат норми (енергія сигналу) відповідає виразу:

||s(t)||² = s(t), s(t) = s(t)·s^*(t) dt, (2.1)

де s^*(t) – функція, комплексно сполучена з s(t).

Якщо норма функції має кінцеве значення (інтеграл сходиться), то говорять, що функція належить простору функцій L²[R], R=[0,T], інтегрувальних із квадратом (простір Гильберта), і, відповідно, має кінцеву енергію. У просторі Гильберта на основі сукупності ортогональних функцій з нульовим скалярним добутком

v(t), w(t) = v(t)·w^*(t) dt = 0 (2.2)

завжди може бути, створена система ортонормованих "осей" (базис простору), при цьому будь-який сигнал, що належить цьому простору, може бути представлений у вигляді вагової суми простих складових, проекцій сигналу на ці "осі" - базисних векторів. Значення проекцій визначаються скалярними добутками сигналу з відповідними функціями базисних "осей".

Базис простору може бути утворений будь-якою ортогональною системою функцій. Найбільше застосування в спектральному аналізі одержала система комплексних експонентних функцій. Проекції сигналу на даний базис визначаються виразом:

S_n = (1/T) s(t) exp(-jn· ·t) dt, n  (-∞, ∞), (2.3)

де =2 /T – частотний аргумент векторів. При відомих виразах базисних функцій сигнал s(t) однозначно визначається сукупністю коефіцієнтів S_n і може бути абсолютно точно відновлений (реконструйований) по цих коефіцієнтах:

s(t) = S_n exp(jn··t) (2.4)

Рівняння (2.3) і (2.4) називають прямим і зворотним перетворенням Фур'є сигналу s(t). Таким чином, будь-яка функція гильбертова простору може бути представлена у вигляді комплексного ряду Фур'є (2.4), що називають спектральним представленням сигналу або його Фур'є-образом.

На практиці ряд Фур'є обмежується певною кількістю членів N. Обмеження числа членів ряду значенням N означає апроксимацію нескінченного сигналу N - мірною системою базисних функцій спектра сигналу з певною погрішністю залежно від фактичного спектра сигналу. Ряд Фур'є рівномірно сходиться до s(t) по нормі (2.1):

||s(t) - S_n exp(jnt)|| = 0. (2.5)

Таким чином, ряд Фур'є - це розкладання сигналу s(t) по базисі простору L²(0,T) ортонормированных гармонійних функцій exp(jnt) зі зміною частоти, кратним частоті першої гармоніки ₁=.. Звідси, ортонормований базис простору L²(0,T) побудований з однієї функції v(t) = exp(jt) = cos(t)+j·sin(t) за допомогою масштабного перетворення незалежної змінної так, що v_n(t) = v(nt).

Для коефіцієнтів ряду Фур'є справедлива рівність Парсеваля збереження енергії сигналу в різних представленнях:

(1/T) |s(t)|² dt = |S_n|². (2.6)

Розклад в ряд Фур'є довільної функції y(t) коректно, якщо функція y(t) належить цьому ж простору L²(0,T), тобто квадратично інтегрувальна з кінцевою енергією:

|y(t)|² dt <  , t  (0,T), (2. 7)

при цьому вона може бути періодично розширена й визначена на всій тимчасовій осі простору R(-, ) так, що

y(t) = y(t-T), t  R,

за умови збереження кінцівки енергії в просторі R(-, ).

З позицій аналізу довільних сигналів і функцій у частотній області й точному відновленні після перетворень можна відзначити ряд недоліків розкладання сигналів у ряди Фур'є, які привели до появи віконного перетворення Фур'є й стимулювали розвиток вейвлетного перетворення. Відзначимо основні з них:

Обмежена інформативність аналізу нестаціонарних сигналів і практично повна відсутність можливостей аналізу їхніх особливостей (сингулярностей), тому що в частотній області відбувається «розмазування» особливостей сигналів (розривів, сходів, піків і т.п.) по всьому частотному діапазоні спектра.

Гармонійні базисні функції розкладу не здатні в принципі відображати перепади сигналів з нескінченною крутістю типу прямокутних імпульсів, тому що для цього потрібно нескінченно велика кількість членів ряду. При апроксимації стрибків нелокалізованими в часі базисними функціями необхідно, щоб суперпозиція цих функцій не тільки відновила стрибок, але й знищила один одного за межами стрибка, що робить рівнозначними всі компоненти його спектра. При обмеженні числа членів ряду Фур'є на околицях стрибків і розривів відновленого сигналу виникають осцилляции (явище Гіббса).

Перетворенням Фур'є відображаються глобальні відомості про частоти досліджуваного сигналу, оскільки базисні функції перетворення визначені на нескінченному тимчасовому інтервалі. ПФ не дає представлення про локальні властивості сигналу при швидких тимчасових змінах його спектрального складу. Так, наприклад, перетворення Фур'є не розрізняє сигнал із сумою двох синусоїд. Перетворення Фур'є в принципі не має можливості аналізувати частотні характеристики сигналу в довільні моменти часу.