Розклад по піддіапазонам
Іноді
буває корисно розкласти сигнал на
компоненти, енергія яких зосереджена
в різних частотних піддіпазонах (тобто
істотно відмінна від нуля на різних під
відрізках відрізка
),
і кодувати їх з різним ступенем детальності
(наприклад, залежно від чутливості
людського вуха до звуків різної частоти).
Розподіл «енергії» сигналу по частотах
характеризує
,
Задовго до створення вейвлет-аналіза
для цього використалася схема, що ми
зараз опишемо.
Ми хочемо
знайти два фільтри,
(придушуючий високі частоти) і
(
придушуючий низькі частоти), які дозволяли
б розкласти сигнал на два компоненти,
і
,
удвічі їх прорідити (половина значень
стає зайвою – адже частотний діапазон
скоротився вдвічі!), а потім, за допомогою
транспонованих фільтрів, точно відновити
за
цими даними вихідний сигнал (цю операцію
можна застосовувати рекурсивно). Умови
на шукані фільтри зручно записати в
термінах z-перетворення.
Нехай
– z-перетворення однієї з компонентів.
Перед кодуванням вона проріджується
вдвічі, а перед відновленням вихідного
сигналу доводить до вихідної довжини
вставкою нулів між сусідніми значеннями.
При цьому z-перетворення з
перетворюється в
.
Підставивши дане рівняння для кожного
з фільтрів, одержимо z-перетворення
компонентів перед відновленням
(2.10)
z-перетворення
транспонованих фільтрів мають вигляд
і
.
Сигнал відновиться з їхньою допомогою
точно, якщо:
.
Одержуємо умови точного відновлення :
(2.11)
У матричній формі вони записуються так:
,
де
(2.12)
Підставивши
,
одержимо умови на ДПФ шуканих фільтрів:
(2.13)
Допустимо, що ми знайшли такий, що
(2.14)
Тоді, підставивши
(2.15)
м
и
бачимо, що умова виконується. Завдання
звелося до знаходження тригонометричного
багаточлена
,
що задовольняє умові. На методах побудови
таких багаточленів ми зупинимося в
наступній лекції. Фільтри
і
,
що задовольняють умові, називаються
квадратурними дзеркальними фільтрами.
На рисунку 2.7 (a) і (б), показані ДПФ такої
пари фільтрів
і
,
а також вихідний сигнал до й після
фільтрації (без проріджування)[12].
Рис. 2.7(а) – Сигнал до фільтрації
Рис. 2.7 (б) – Сигнал після фільтрації
Розділ 3. Застосування вейвлет-аналіза для обробки сигналів
3.1 Пірамідне представлення сигналів.
На рисунку 3.1 схематично зображене пірамідне представлення одномірного сигналу. Сигналові ставляться у відповідність дві піраміди: піраміда гауссіанів (ПГ) і піраміда лапласіанів (ПЛ). Ці назви відбивають аналогію з популярними в графіку операціями згладжування (згортки з колоколообразним фільтром) і виділення перепадів (обчислення “дискретного оператора Лапласа”). Можна вважати цю конструкцію спрощеним варіантом попередньої.
В основі ПГ знаходиться вихідний сигнал. Наступний поверх ПГ – вихідний сигнал, профільтрований низькочастотним фільтром і проріджений після цього вдвічі – передбачається, що фільтр h «убиває» верхню половину частотного діапазону, тому густоту вибірки можна відповідно зменшити. До цього поверху застосовується та ж операція, і так далі. У випадку кінцевих сигналів кожний наступний поверх удвічі коротше попереднього.
Піраміда гаусіонів Піраміда лапласіанів
Рис. 3.1 – Пірамідне представлення сигналів
Поверхи
ПЛ – різниці між послідовними поверхами
ПГ. Вони обчислюються так. Нехай,
наприклад,
і
– перший і другий поверхи ПГ,
– перший поверх ПЛ, що ми хочемо обчислити.
Для цього спочатку вирівнюються довжини
поверхів:
а потім
виконується фільтрація сполученим
фільтром
(його
коефіцієнти – переставлені у зворотному
порядку коефіцієнти
,
у
Фур'є-області це рівнозначно переходу
к)
.
У результаті виникає вектор
. По визначенню,
.Тепер
замість вихідного сигналу (
) досить запам'ятати пари (
). Вихідний сигнал можна точно відновити
по формулі:
Сигнал удвічі коротше вихідного, а сигнал , як правило, майже цілком складається з дуже малих величин. Багато хто із цих величин можна без помітного збитку для точності відновлення замінити нулями, а інші закодувати більш короткими словами, чим компоненти вихідного сигналу. За рахунок цього загальна довжина запису ( ) буде істотно меншої довжини запису вихідного сигналу. Це скорочення стане ще більшим, якщо обчислити кілька поверхів ПЛ, і запам'ятовувати замість вихідного сигналу кілька поверхів ПЛ і останній поверх ПГ.
Ступінь
стиску інформації цим методом залежить
від вибору фільтра
.
При експериментах з пірамідними
представленням було зроблене спостереження:
«якість» фільтра зручно виражати в
термінах еквівалентної вагової функції.
Ця
функція виникає так. Неважко обчислити
коефіцієнти фільтрів, згортка сигналу
з якими дає відразу другий поверх ПГ,
третій поверх, і т.д. Виявляється, що при
відповідній нормуванню вектори цих
коефіцієнтів сходяться до якоїсь
граничної «форми» – графікові функції
,
що повинні задовольняти функціональному
рівнянню[12]:
(3.1)
П
роцес
одержання
зображений на рисунку 3.2.
Рис. 5.2 – Процес одержання графікові функції