Лабораторная работа №7 Решение оптимизационных задач Лабораторная работа №7
Тема: Решение оптимизационных задач.
Цель: Научиться решать оптимизационные и транспортные задачи.
Задача линейного программирования является достаточно распространенной задачей принятия оптимальных решений, особенно в экономике. Частным случаем задачи линейного программирования являются задачи распределения ресурсов, определения прибыли. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования.
Пример №1
Задание: решить оптимизационную задачу на прибыль.
Предположим, что небольшая фабрика выпускает два вида красок: А и Б. Продукция поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два вида исходных продуктов: В и Г. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 т и 8 т соответственно. Расходы продуктов на 1 т красок приведены в таблице. 36.
Таблица 36
Исходные данные
Исходный продукт
|
Расход на 1т краски |
Максимальный запас, т |
|
Краска А |
Краска Б |
||
В Г |
1 2 |
2 1 |
6 8 |
Анализ рынка показал, что суточный спрос на краску А не превышает спроса на краску Б более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на А не превышает 2т в сутки. Прибыль от продажи красок А и Б равна 3 000,0 руб. и 2 000,0 руб. соответственно.
Необходимо найти количество выпускаемых красок, при котором прибыль максимальна.
Решение задания:
Для решения задачи необходимо построить математическую модель. Для этого необходимо получить ответы на три вопроса:
1) Для определения каких величин строится модель (переменные, что изменяется)?
2) Что оптимизируется (функция цели, формула расчета)?
3) При каких условиях определяется решение (какие существуют ограничения)?
В
75
Таким образом, функция цели (формула 23) для расчета суммарной суточной прибыли от производства выглядит так:
П=3000*ХА+2000*ХБ (23)
Перейдем к ограничениям, которые надо задать компьютеру. Так как объем производства не может быть отрицательным, следовательно:
ХА, ХБ>=0 (24)
Кроме того, расход исходного продукта не может превосходить максимального суточного запаса, следовательно:
ХА+2*ХБ<=6 (25)
2*ХА+ХБ<=8 (26)
При этом следует помнить, что ограничение на спрос таковы, что должны выполняться неравенства:
ХА-ХБ<=1 (27)
ХБ<=2 (28)
Математически задача формулируется следующим образом:
1. Необходимо максимизировать функцию:
П=3000*XА+2000*XБ (29)
2. При ограничениях:
ХА+2*ХБ<=6 (30)
2*ХА+ХБ<=8 (31)
ХА-ХБ<=1 (32)
ХБ<=2 (33)
ХА, ХБ>=0 (34)
Решим поставленную задачу с помощью команд: «Сервис», «Поиск решения».
Примечание: если в меню «Сервис» отсутствует команда «Поиск решения», то необходимо выполнить следующие действия: «Сервис», «Надстройка», «Поиск решения», чтобы компьютер показал необходимую функцию.
Решение задачи начинаем с подготовки данных. Введем необходимые данные и ограничения в таблицу Excel следующим образом (таб. 37).
Таблица 37
Форма для ввода условий задания
-
А
В
С
1
Наши переменные
2
Краска А
Краска Б
3
4
5
Функция цели:
=3000*А3+2000*В3
6
7
Ограничения
76
Продолжение таблицы 37
-
8
=A3+2*B3
6
9
=2*A3+B3
8
10
=B3-A3
1
11
=B3
2
12
Ячейки А3:B3 будет изменять компьютер (подбирая необходимые значения). Выделим их для наглядности, например, желтым цветом.
В ячейку В5 введем формулу =3000*A3+2000*B3, которая будет нашей целевой функцией, следующей из условия задачи (прибыль от продажи красок А и Б равна 3 000,0 руб. и 2 000,0 руб. соответственно).
В ячейку А8 введем формулу =A3+2*B3, а в B8 – ограничение, означающее, что значение формулы в А8 не может быть больше 6 т (из условия задачи).
В ячейку А9 введем формулу =2*A3+B3, а в B9 – ограничение, означающее, что значение формулы в А9 не может быть больше 8 т (из условия задачи).
В ячейку А10 введем формулу =B3-A3, а в B10 – ограничение, означающее, что значение формулы в А10 не может быть больше 1 (из условия задачи - суточный спрос на краску А не превышает спроса на краску Б более чем на 1т).
В ячейку А11 введем формулу =B3, а в B11 – ограничение, означающее, что значение формулы в А11 не может быть больше 2 (из условия задачи).
После ввода формул выделим ячейку с целевой функций (В5) и выполним команду: «Сервис», «Поиск решения». Появившееся окно диалога «Поиск решения» надо заполнить следующим образом:
В поле «Установите целевую ячейку» введите в абсолютном выражении адрес Вашей целевой функции: $В$5.
Установите ее равной максимальному значению (что, исходя из условий задачи, заставит компьютер искать наибольшую прибыль).
В поле «Изменяя ячейки» введите диапазон ячеек, соответствующих вашим переменным: $А$3:$В$3.
В поле «Ограничения» через функцию «Добавить» введите ограничения, заложенные условием задачи и отраженные в диапазоне ячеек $А$8:$В$11 (Рис. 56-59).
Р
77
Рис. 57. Диалоговое окно «Добавление ограничений»
Рис. 58. Диалоговое окно «Добавление ограничений»
Рис. 59. Диалоговое окно «Добавление ограничений»
5. Нажмите на кнопку «Параметры» в окне «Поиск решения», поставьте «галочку» в поле «Линейная модель» (Рис. 60), и нажмите кнопку «ОК».
Р
78
После ввода всех адресов ячеек и ограничений у Вас должно получиться следующее окно поиска решения (Рис. 61):
Рис. 61. Диалоговое окно «Поиск решения»
После нажатия кнопки «Выполнить» откроется окно диалога «Результаты поиска решения», которое сообщает, что решение найдено (Рис. 62)
Рис. 62. Диалоговое окно «Результаты поиска решения»
Нажмите кнопку «ОК» и компьютер предложит Вам следующий вариант решения (рис. 63):
79
Рис. 63. Результативная таблица
Из рисунка 63 следует, что оптимальным является производство 3,333т краски А и 1,333т краски Б. Этот объем производства обеспечивает максимальную прибыль 12666,7 руб. Обратите внимание, что компьютер выполнил все заложенные Вами ограничения в диапазоне ячеек А8:В11.
Задача решена.