2.7 Розрахунок довгої лінії

Приклад 1. Диспетчерський зв'язок здійснюється по повітряній лінії на частоті 300 кГц. Первинні параметри лінії зв'язку (communication line):

Лінія навантажена на опір . Напруга на навантаженні

Необхідно:

1. визначити хвильовий опір (wave impedance), коефіцієнт поширення, фазову швидкість і довжину хвилі;

2. обчислити коефіцієнти відбиття за напругою і струмом від кінця лінії і коефіцієнти біжучої і стоячої хвиль;

3. побудувати графіки розподілу миттєвих значень прямої, зворотної і сумарної хвиль напруги і струму вздовж лінії довжиною для моменту t, при якому напруга падаючої хвилі в кінці лінії максимальна;

4. визначити діючі значення напруги і струму на початку лінії;

5. визначити потужність, що витрачається в лінії і розвивається генератором.

Розв’язування

1. Для лінії з втратами

Хвильовий опір

Коефіцієнт поширення (propagation factor)

коефіцієнт згасання (damping factor)

коефіцієнт фази (phase factor) .

Фазова швидкість (phase velocity)

Довжина хвилі (wave length)

1. Коефіцієнти відбиття (reflectivity) за напругою і струмом:

.

Коефіцієнт біжучої хвилі (travelling wave factor):

Коефіцієнт стоячої хвилі (standing wave ratio):

3. Розподіл миттєвих значень напруги і струму вздовж лінії при

Струм в навантаженні:

Оскільки в кінці лінії, фаза цієї напруги .

При в кінці лінії

Отримаємо рівняння хвиль напруги і струму, в яких одна змінна  поточна координата :

Для побудови графіків миттєвих значень падаючих, відбитих і сумарних хвиль напруги і струму визначаємо їх значення в точках лінії з мінімальним інтервалом.

Комплекси діючих значень напруги і струму на початку лінії при

Потужність, яка розвивається в генераторі:

Потужність навантаження:

Графіки показані на рисунках 2.36 і 2.37.

Рисунок 2.36

Рисунок 2.37

Потужність, втрачена в лінії:

2.8 Розрахунок електричного поля двох паралельних циліндрів

Приклад 1

Розрахувати і побудувати картину електричного поля, що має m–ліній напруженості та n–1 ліній однакових потенціалів (ці лінії розташувати через однакову різницю потенціалів U/n, де U –напруга між провідниками). ; ; ; ; ; ; ; рисунок 2.38.

Розв’язування Визначаємо положення площини нульового потенціалу (plane of a zero potential) і електричних осей (electric axis) циліндрів відносно цієї площини за формулами:

Для визначення координат Х_0і і радіусів R_i еквіпотенціальних ліній (equipotential line) необхідно знати параметр K для кожної лінії. Виходячи з того, що збільшення потенціалу при переході від однієї лінії до сусідньої повинно залишатися постійним, легко показати, що зміна K при зростанні порядкового номера лінії відбувається в геометричній прогресії

де i - номер лінії;

В- знаменник геометричної прогресії.

Для знаходження параметра K будь-якої лінії необхідно знати знаменник геометричної прогресії B і K сусідньої лінії. Визначимо B.

Для еквіпотенціальної лінії з номером 1, що лежить на поверхні лівого циліндра (рисунок 2.38), параметр K можна обчислити, наприклад, як відношення відстані r₂ від точки A₁ до негативно зарядженої осі τ до відстані від цієї ж точки до позитивної осі + τ

Рисунок 2.38

Для правого циліндра номер лінії буде 9, тобто 7 (див. умову задачі) плюс дві лінії, які збігаються з поверхнями циліндрів, тому

Різницю потенціалів між проводами знаходимо за формулою

(1)

Звідси можна знайти відношення

.

Різниця потенціалів між сусідніми еквіпотенціальними лініями також знаходиться за формулою (1). Наприклад, різниця потенціалів між лінією 1 (поверхня лівого циліндра) і найближчою наступною (номер 2) визначиться відповідно (1) так:

(2)

Звідси

(3)

З іншого боку, Знаменник n+1 означає, що якщо число еквіпотенціальних ліній n (не враховуючи лінії на поверхні циліндрів), то число приросту буде на одиницю більше.

Т аким чином,

і

Тепер можна визначити K для всіх інших еквіпотенціальних ліній:

За наступними формулами визначаємо положення центрів і радіуси еквіпотенціальних ліній

що збігається зі значенням h₁, а

збігається із заданим в умові задачі.