2.3 Определение плотности внутри планеты

Как мы видели, скорость распространения объемных упругих волн внутри планеты зависит как от упругих постоянных, так и от плотности пород, слагающих Землю. Одной из важнейших задач сейсмологии является определение плотности пород внутри планеты. Обратимся к формулам (2.1), которые перепишем здесь в следующем виде

Исключая модуль сдвига, получим . Полученную величину называют сейсмическим параметром и обозначают буквой . Выразим модуль сжатия через сейсмический параметр. Из определения модуля всестороннего сжатия следует . Изменение плотности прямо пропорционально изменению объема, поэтому , следовательно . Отсюда еще одно определение сейсмического параметра: .

2.3.1 Уравнение Адамса Вильямсона

Допустим, что изменение давления вызвано исключительно весом лежащего выше слоя толщиной , тогда , или . Переходя от конечных приращений к бесконечно малым, получим искомое уравнение Адамса-Вильямсона

(2.7)

Чтобы определить плотность внутри планеты, необходимо

определить продольную и поперечную скорости распространения упругих волн,

вычислить сейсмический параметр,

задать предварительную модель Земли и вычислить силу тяжести,

численно решить дифференциальное уравнение, следовательно, уточнить модель Земли.

В заключение приведем основные формулы для построения сейсмологической модели Земли.

Модель Земли, в общих чертах, выглядит так, как это показано на рис.4. Видна тень сейсмических волн от внешнего, жидкого ядра, простирающая от 103 до 142 градуса эпицентральных расстояний. Именно эта тень была первым доказательством существования жидкого яра Земли.

2.4 Собственные колебания Земли

Любое упругое тело после удара подобно колоколу совершает колебания. В 1911 году математик Ляв (Love) вычислил период собственных колебания стального шара размером с Землю. Оказалось, что он будет равен одному часу. Первые собственные колебания Земли с периодом 57 мин обнаружены Беньоффом в 1952 году после землетрясения на Камчатке. Зарегистрированы колебания Земли с периодом 54 мин после чилийского землетрясения в 1960 году. Чему же равен период собственных колебаний Земли? Поскольку Земля -- не однородный стальной шар, а имеет значительно более сложное строение, то и собственные колебания имеют достаточно богатый спектр.

Существуют два типа собственных колебаний упругого шара, которые называют модами. Сфероидальные колебания дают моду , а крутильные колебания -- моду . Каждая мода имеет свою конфигурацию: расположение минимумов и максимумов, узловых линий и поверхностей, где отклонения равны нулю. Узловые линии или поверхности могут быть расположены как на поверхности сферы, так и внутри ее. Для отождествления мод введены следующие правила для их обозначений.

Для крутильных колебаний вводятся два нижних индекса: мода означает, что мы имеем дело с модой крутильных колебаний, у которой количество узловых поверхностей внутри Земли равно , а число секторов на поверхности Земли, ограниченных этими поверхностями равно . Основным крутильным собственным колебанием является мода . Этому крутильному колебанию соответствует только одна поверхность, секущая поверхность Земли по экватору. При этом северное и южное полушария смещаются в противоположные стороны.

Сфероидальные моды идентифицируются аналогичным образом. Колебания основной моды напоминают деформацию упругого мяча. Две узловые лини на поверхности сферы совпадают с параллелями Северного и Южного полушария. Период этой моды определен из наблюдений. Он составляет 54 мин, что на 6 мин меньше теоретического значения, полученного Лявом. Это отличие указывает, прежде всего, на отличие Земли от однородного стального шара.

Среди других мод существуют и такие, период которых значительно отличается от теоретического. Так период радиальных колебаний, описывающихся модой , равен 25,5 мин. Периоды разных типов мод могут и почти совпадать. Например, периоды мод и равны 360,3  и 360,2  ("Общая геофизика", изд. МГУ).

Затухание собственных колебаний определяется механической добротностью. Она различна для различных мод. Механическая добротность , как показывают наблюдения, растет по мере увеличения глубины. Значение для нижней мантии больше, чем для верхней. Очень высокая добротность получена для моды . Она оказалась больше 25000. Из этого факта следует вывод, что поглощение энергии упругих волн происходит, в основном, вследствие деформаций сдвига.

Собственные колебания -- прекрасный материал для тестирования принятой модели Земли. Они могут быть вычислены заранее, теоретически. С другой стороны, -- получены путем наблюдений. Сопоставление теоретических и наблюдательных данных дает нам основание принять решение о правильности или ошибочности принятой модели. Главная трудность -- наблюдение низкочастотных колебаний. Как известно, ускорения, вызванные вертикальными колебаниями грунта, пропорциональны квадрату частоты и колебания с периодом несколько десятков минут, практически недоступны современным сейсмографам.

Есть и другой способ регистрации собственных колебаний Земли -- гравиметрический. Сила тяжести зависит от высоты точки, где она наблюдается. Вертикальный градиент силы тяжести составляет приблизительно  мкГал/м. Заметим, что 1 мкГал составляет приблизительно . Изменение высоты всего на 1 мм, вызывает изменение силы тяжести на 0,3 мкГал. Сейчас существуют приборы способные зарегистрировать значительно меньшие изменения силы тяжести -- это криогенные гравиметры, которыми располагают многие страны. Поэтому наблюдения собственных колебаний Земли и их интерпретация под силу только международному сообществу ученых.