3. Гравитационное поле планеты

Разделы

• 3.1 Гравитационный потенциал

• 3.2 Свойства гравитационного потенциала

• 3.3 Гравитационный потенциал шара

• 3.4 Гравитационное поле планеты

3.1 Гравитационный потенциал

Подразделы

• 3.1.1 Гравитационный потенциал материальной точки

• 3.1.2 Гравитационный потенциал тела

Потенциалом называется работа, которую нужно совершить, которую нужно совершить, чтобы переместить данную материальную точку с массой, равной единице, из заданной точки в бесконечность. Пусть есть вектор-сила, приложенная к материальной точке, -- радиус-вектор этой точки. Тогда потенциалом будет величина

(3.1)

Введем понятие силовой функции . По определению частная производная силовой функции вдоль любого направления равна компоненте силы вдоль этого направления. Отсюда следует, что .

Таким образом, подынтегральное выражение в формуле (3.1) есть не что иное, как полный дифференциал силовой функции, поэтому

Силовую функцию на бесконечности можно приравнять нулю, поэтому будем считать, что потенциал и силовая функция отличаются лишь знаком.

В гравиметрии, как разделе геофизики, традиционно не разделяют эти два понятия, и под термином гравитационный потенциал обычно понимают силовую функцию. В нашем курсе мы также будем придерживаться этих традиций.

3.1.1 Гравитационный потенциал материальной точки

Согласно закону Ньютона, две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Выберем систему координат так, чтобы одна из материальных точек оказалась в начале этой системы. Тогда другая материальная точка будет иметь радиус-вектор . Вектор напряженности гравитационного поля в точке с радиус-вектором равен силе, которая действует на материальную точку с массой, равной единице. Вектор этой силы можно изобразить следующим образом , где -- гравитационная постоянная. Проекции этой силы на оси декартовой системы координат будут равны , , . Абсолютная величина этого вектора, равна

(3.2)

Заметим, что размерность напряженности поля тяготения совпадает с размерностью ускорения, поэтому часто вместо силы притяжения единицы массы, или удельной силы притяжения говорят об ускорении силы притяжения, хотя, может быть, в этом словосочетании можно усмотреть и смысловую нелепицу.

Формулу (3.2) еще называют как закон обратных квадратов. Весь опыт небесной механики говорит о том, что в масштабах Солнечной системы он работает очень хорошо: не найдено каких либо подозрений, что его нужно подправлять. Лабораторные эксперименты по определению гравитационной постоянной G дали повод подозревать, что этот закон не абсолютно строг. Хотя причиной несоответствия теории и практики вполне могли быть и неизвестные систематические погрешности. В конце минувшего века наблюдался повышенный интерес к закону обратных квадратов. В разных странах проводились эксперименты и применялись современные самые высокоточные инструменты для обнаружения каких-либо невязок между теорией и практикой. Однако, никаких значимых расхождений не обнаружено.

Нетрудно убедиться, что гравитационный потенциал точки (силовая функция) равен, , где -- расстояние между притягивающимися точками (скалярная величина).