Лабораторная работа № 4.

Цель работы: научится делать аппроксимацию функции, а также использовать полином Чебышева.

Аппроксимация функций

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

1) аналитический

2) графический

3) табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперимента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных, которые неопределенны таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксимирующей, а действие замены аппроксимацией.

φ(х)

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

φ(х)- аппроксимирующая функция.

Полином Чебышева

Полиномы Чебышева [1, 2] обладают рядом замечательных свойств, которые позволяют использовать их для построения и описания моделей объектов в различных областях техники.

Во-первых, полиномы Чебышева обладают таким важным свойством: если на нелинейный элемент, статическая характеристика которого представляет собой полином Чебышева некоторой степени n, подать гармонический сигнал, например, косинусоидальный (синусоидальный), единичной амплитуды, то на выходе такого нелинейного элемента также будет гармонический сигнал единичной амплитуды, но с n-кратной частотой.

Во-вторых, полиномы Чебышева растут за пределами интервала [-1, 1] наиболее быстро из всех полиномов такой же степени. Их используют для синтеза линейных фильтров [2]. И такие фильтры при заданной неравномерности в полосе пропускания обладают наиболее крутой частотной характеристикой в полосе запирания по сравнению с другими фильтрами того же порядка.

В-третьих, полиномы Чебышева являются набором ортогональных с весом функций [1], что позволяет представить, например, однозначную статическую характеристику нелинейного безинерционного звена в виде довольно быстро сходящегося ряда.

Полиномы Чебышева имеют вид[1, 2]:

(4.1)

(1)

T₀(x)=1, T₁(x)=x, T₂(x)=2x²-1

T₃(x)=4x³-3(x), T₄(x)=8x⁴-8x⁴+1

T₅(x)=16x⁵-20x³+5x , …

T_n+1(x)=2xT_n(x)-T_n-1(x)

Графики первых пяти полиномов Чебышева представлены на рисунке:

Рис. 1.1. Полиномы Чебышева. Полином Чебышева на интервале (-1, 1) ограничен значениями (-1, 1), а за пределами этого интервала растет по абсолютной величине быстрее любого другого полинома той же степени, ограниченного тем же условием

Если вы впервые увидели полиномы Чебышева, то обратим внимание и на такое их представление:

(2) T_n(x)=cos(n arcos(x))

что на первый взгляд непостижимым образом, но очень красиво связывает тригонометрию и алгебру.

Контрольные вопросы:

1. Назовите 3 способа задания функциональных зависимостей?

2. В чем заключается принцип аппроксимации?

3. Какими свойствами обладает полином Чебышева?

Лабораторная работа № 5. Метод наименьших квадратов.

Запишем сумму квадратов от­клонений (2.64) для всех точек

^(5.1)

Параметры , ,…, эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции . В этом состоит метод наименьших квадратов.

В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны, если отклонения подчиня­ются нормальному закону распределения.

Поскольку здесь параметры выступают в роли неза­висимых переменных функции , то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным:

(5.2)

Полученные соотношения — система уравнений для определе­ния

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для широко используемого на практике частного случая, когда функция является линейной по неизвестным параметрам

Где – известные функции . Формула (2.69) для определения суммы квадратов отклонений примет вид:

Для составления системы (2.70) продифференцируем по переменным

Приравнивая найденные производные нулю, получим следующую систему уравнений:

Система (2.71) является системой линейных алгебраических уравнений, ее можно записать в наглядном векторно-матричном виде. Для этого введем векторы опытных данных и неизвестных параметров , а также матрицу следующим образом:

Здесь векторы и имеют размерности и соответственно, а матрица ф имеет размерность Для ее элементов справедливо выражение:

Нетрудно убедится, что выражение, состоящее в квадратных скобках в (5.3), является -й компонентой вектора , а каждое уравнение (5.3) представляет собой равенство нулю -й компоненты вектора , где - транспонированная матрица. Таким образом, систему (5.3) можно записать в виде:

или

(5.4)

Матрица этой системы имеет размерность , вектор является искомым.

Пример. Используя метод наименьших квадратов, вывести эмпирическую формулу для функции , заданной в табличном виде:

x	0.75	1.50	2.25	3.00	3.75
y	2.50	1.20	1.12	2.25	4.28

Решение: Если изобразить данные табличные значения на графике то легко убедиться, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции можно принять квадратный трехчлен, графиком которого является парабола:

.

В данном случае имеем

.

После вычисления матрицы Ф^Т Ф и вектора Ф^Ту (приведены округленные значения)

С истема уравнений (2.72) имеет вид

Отсюда находим значения параметров эмпирической формулы: Таким образом, получаем следующую аппроксимацию функции, заданной в табличном виде:

Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках, т. е. найдем значения

Рис. 2.9

Результаты вычислений представим в виде таблицы

x	φ	y		δy
0.75 1.50 2.25 3.00 3.75	2.47 1.25 1.15 2.17 4.32	2.50 1.20 1.12 2.25 4.28	− 0.03 0.05 0.03 − 0.8 0.04	− 0.012 0.042 0.027 − 0.036 0.009

На рисунке (2.9) построен график найденной эмпирической функции. Точками, как уже отмечалось, нанесены заданные табличные значения функции

В заключение сделаем несколько примечаний, касающихся метода наименьших квадратов.

Примечание 1. Можно доказать, что если столбцы матрицы Ф линейно независимы, то система (5.4) имеет единственное решение.

Примечание 2. Как видно из рассмотренного примера, матрица Ф^ТФ является симметрической, т. е.

Примечание 3. В случае использования в качестве эмпирической функции многочлена

Элементы матрицы Ф^ТФ и компоненты вектора Ф^Ту можно вычислить по формулам

В частности, равны все элементы при