Метод Гаусса-Кронрода

Н

7.11

едостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

Где — узлы метода Гаусса по n точкам, а подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен .

Т

7.12

огда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

Где — приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по n точкам. Библиотеки gsl и SLATEC для вычисления определённых интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса-Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 точкам.

Интегрирование при бесконечных пределах

Для интегрирования по бесконечным пределам нужно ввести неравномерную сетку, шаги которой нарастают при стремлении к бесконечности, либо можно сделать такую замену переменных в интеграле, после которой пределы будут конечны. Аналогичным образом можно поступить, если функция особая на концах отрезка интегрирования.

Методы Монте-Карло

Для определения площади под графиком (рис.7.2) функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

 ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого

 «набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;

 определим число точек (K штук), которые попадут под график функции;

 площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением

Рис. 7.2

Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

Многомерный случай

В небольших размерностях можно так же применять квадратурные формулы, основанные на многочленах Лагранжа. Однако в больших размерностях эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки и/или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло. Генерируются случайные точки в нашей области и усредняются значения функции в них. Так же можно использовать смешанный подход — разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применить метод Монте-Карло.

Контрольные вопросы:

1. Какие вы знаете методы численного интегрирования?

2. В чем заключается метод прямоугольников?

3. Как можно увеличить точность значения?

Варианты заданий

Вариант	Вид функции	Вариант	Вид функции
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13		26