Лабораторная работа №8

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса, метод прогонки.

Цель работы: освоить прямые решения систем линейных алгебраических уравнений. Также научится работать с методом Гаусса, методом прогонки и методом квадратных корней.

Система линейных алгебраических уравнений

Система - линейных уравнений с неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

8.1

Здесь — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (8.1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (8.1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (8.1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (8.1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (8.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (8.1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (8.1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c 8.2 1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (8.1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Матричная форма

С

8.3

истема линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

Ax = B.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Методы решения

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Рассмотрим метод Гаусса, метод прогонки, а также метод Халецкого:

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

П

8.4

усть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Т

8.5

огда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где i > r, то рассматриваемая система несовместна.

Пусть, что для любых i > r.

П

8.6

еренесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Трёхдиагональная матрица

Т

8.7

рёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби называют матрицу следующего вида:

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия x₁ и x_n, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода F(x = x₁) = F₁ определит первую строку в виде C₁ = 1, B₁ = 0, а условие второго рода dF / dx(x = x₁) = F₁ будет соответствовать значениям C₁ = − 1, B₁ = 1.