7.9. Примеры решения задач

1. Доказать, что функция является бесконечно малой в точке О(0, 0).

Решение. Согласно определению бесконечно малой функции требуется доказать, что . Отметим, что функция не определена на осях координат, но точка О(0, 0) является предельной точкой области определения , и, значит, можно рассмотреть вопрос о пределе функции в точке О.

Воспользуемся определением предела функции по Коши. Зададим произвольное и положим . Тогда если , то и . Следовательно,

.

Это и означает, что .

2. Вычислить предел .

Решение. Представим функцию в виде . Так как при , то . Получаем, . Тогда искомый предел равен .

3. Существует ли предел ?

Решение. Пусть точка М(х, у) стремится к точке О(0, 0) по прямой , проходящей через точку О. Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке О(0, 0) по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке О(0, 0) не существует. 

4. Вычислить повторные пределы функции в точке

О(0, 0) при условии .

Решение. Имеем

.

Аналогично получаем . 

5. Существуют ли повторные пределы функций в точке О(0, 0)?

Решение. Рассмотрим внутренний предел в повторном пределе . Представим функцию в виде суммы двух слагаемых: . При фиксированном первое слагаемое стремится к нулю если . Во втором слагаемом произведение является постоянным, отличным от нуля, если , а сомножитель не имеет предела при : в сколь угодно малой окрестности точки функция принимает все значения от –1 до 1. Следовательно, второе слагаемое , а значит, и вся функция не имеет предела при при фиксированном у, не равном 0 и . Таким образом, указанный внутренний предел не существует, а поэтому не существует повторный предел . Аналогично можно доказать, что не существует другой повторный предел .

6. Вычислить повторные пределы функции в точке О(0, 0).

Решение. Имеем

.

Аналогично получаем .

Замечание. В примере 3 было доказано, что предел функции в точке О(0, 0) не существует. Таким образом, на основании примеров 3 и 7 можно сделать вывод: из существования и равенства повторных пределов функции в данной точке не следует существование предела функции в этой точке.

7. Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, где знаменатель дроби равен нулю: , т.е. функция не определена на прямой у=х. В остальных точках плоскости функция определена, поэтому каждая точка прямой у=х является предельной точкой области определения функции. В любой точке А прямой у=х функция не является непрерывной, так как не существует. Таким образом, любая точка прямой у=х есть точка разрыва данной функции.

В любой точке В, не лежащей на прямой у=х, функция непрерывна. Это следует, например, из теоремы 7, поскольку функции , очевидно, непрерывны в любой точке и в точке В. Итак, множество точек разрыва данной функции есть прямая у=х.

Отметим, что в любой точке , лежащей на прямой у=х и не совпадающей с точкой (т.е. ), существует предел функции: .

Поэтому точки при можно назвать точками устранимого разрыва функции: если положить , то функция станет непрерывной в точке . В точке же имеем

,

т.е. – точка неустранимого разрыва данной функции. 

8. Доказать, что функция

непрерывна в точке по каждой переменной х и у, но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

Решение. Рассмотрим частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента х:

.

Очевидно, , а это и означает, что непрерывна в точке по переменной х.

Этот же факт легко обосновать, пользуясь другим определением непрерывности функции по отдельным переменным. Рассмотрим функцию при , т.е. . Поскольку во всех точках х, функция непрерывна на всей оси Ох, в частности в точке . Согласно второму определению непрерывности функции в точке это и означает, что функция непрерывна в точке по переменной х. Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Чтобы доказать, что функция не является непрерывной в точке по совокупности переменных, используем результат примера 3 из п. 9.2. В этом примере было доказано, что предел функции в точке не существует. Отсюда следует, что функция не является непрерывной в точке .

9. Найти частные производные функции:

а) ; б) .

Решение. а) При вычислении частной производной функции по аргументу х рассматриваем функцию и как функцию только одной переменной х, т.е. считаем, что у имеет фиксированное значение. При фиксированном у функция является степенной функцией аргумента х. По формуле дифференцирования степенной функции получаем . Аналогично, при вычислении частной производной считаем, что фиксировано значение х, и рассматриваем функцию как показательную функцию аргумента у. Получаем .

б) При фиксированных значениях y и z функция является сложной функцией аргумента х. Вычисляя производную этой функции аргумента х, получаем

.

Аналогично,

, .

Отметим, что полученные формулы теряют смыл в точке . Покажем, что в этой точке частные производные функции не существуют. В самом деле, . Эта функция аргумента х, как известно, не имеет производной в точке . Последнее и означает, что частная производная в точке О не существует. Аналогично можно показать, что частные производные и в точке О также не существуют. 

Замечание. Функция , очевидно, непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке (поскольку не имеет частных производных в точке О). Это доказывает, что непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции.

10. Доказать, что функция

имеет в точке частные производные, но не дифференцируема в этой точке.

Решение. Так как т.е. то . Аналогично получаем . Итак, функция имеет в точке О частные производные.

Докажем, что функция не дифференцируема в точке О. Предположим противное. Тогда приращение функции в этой точке, равное , можно представить в виде

,

где . Так как , то из условия дифференцируемости получаем , или , т.е.

.

Покажем, что на самом деле этот предел не существует. Пусть и стремятся к нулю так, что . Тогда получим

.

Так как величина принимает разные значения при разных , то указанный предел не существует. Отсюда следует, что сделанное предположение неверно, и, значит, функция не дифференцируема в точке О.

11. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду в точке и найти нормаль к параболоиду в этой точке.

Решение. Пусть – точка на плоскости . Так как , , то , . Учитывая также, что , получаем искомое уравнение касательной плоскости

, или .

Вектор является нормалью к параболоиду в точке .

12. Найти дифференциал функции: а) в точке ; б) в точке .

Решение.

а) Имеем

. Следовательно,

.

б) Запишем функцию в виде , где . Вычисляя частные производные и по теореме , получим

,

,

,

.

Следовательно,

(38)

Это же выражение для можно получить другим способом, используя инвариантность формы первого дифференциала. В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем

,

где и – дифференциалы функций и в точке . Так как , то , тогда получаем

,

что совпадает с равенством (38).

13. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка:

.

Затем, вычисляя частные производные от частных производных первого порядка, получаем производные второго порядка данной функции:

,

.

Замечание. В рассмотренном примере . Вообще, если функция является суперпозицией элементарных функций, то ее частные производные любого порядка также являются суперпозициями элементарных функций, а так как элементарная функция непрерывна в любой точке, в окрестности которой она определена, то частные производные любого порядка функции не зависят от порядка дифференцирования.

14. Доказать, что функция

имеет в точке смешанные частичные производные второго порядка, но при этом .

Решение. Вычислим сначала частичную производную первого порядка . Во всех точках, кроме точки , это можно сделать, дифференцируя по х функцию . Получаем

при . (39)

Чтобы найти , воспользуемся тем, что . Отсюда имеем .

Для нахождения смешанной производной второго порядка нужно найти производную по у функции в точке . Из (37) следует, что при . Так как , то для любого получаем . Следовательно, .

Аналогично получаем при , откуда для любого получаем . Следовательно,

.

Таким образом, .

15. Найти , если .

Решение. Указанная частная производная десятого порядка не зависит от порядка дифференцирования. Очевидно, . Вычисляя теперь по формуле Лейбница вторую производную по от , получаем

.

16. Найти второй дифференциал функции в точке .

Решение. Полагая , в выражениях для частных производных второго порядка данной функции, получим , , . Подставляя эти значения в формулу,

находим .

17. Найти второй дифференциал функции в точке , если х и у — независимые переменные.

Решение. Запишем данную функцию в виде , где . Используя эти обозначения, находим

,

,

,

,

.

Подставляя эти выражения в формулу, получаем

.

19. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке до членов второго порядка включительно.

Решение. Сначала находим частные производные функции до второго порядка включительно:

,

,

.

В точке имеем , . Подставляя эти выражения в формулу Тейлора, получаем

.

В форме Пеано .

20. Найдите точки локального экстремума функции

.

Решение. Для нахождения точек возможного экстремума данной функции вычисляем ее частные производные и приравниваем их нулю:

.

Решая эту систему трех уравнений, находим две точки возможного экстремума: и .

Далее воспользуемся достаточными условиями экстремума. Для этого вычислим частные производные второго порядка данной функции: , , , , , . Значения этих частных производных в точке являются коэффициентами – квадратичной формы от переменных . Матрица этой квадратичной формы имеет вид

.

Вычисляя главные миноры матрицы А, получаем

.

Согласно критерию Сильвестра является положительно определенной квадратичной формой от переменных . Следовательно, в точке функция имеет локальный минимум.

Исследуем теперь точку М₂. Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Так как , то не является знакоопределенной квадратичной формой от . Нетрудно видеть, что эта квадратичная форма знакопеременная. В самом деле, если положить , то получим , а если положить , то получим

.

Следовательно, в точке М₂ функция не имеет локального экстремума.

21. Найти точки локального экстремума функции .

Решение. Вычисляем частные производные функции и приравниваем их нулю:

.

Решая эту систему уравнений, получаем две точки возможного экстремума: М₁(0,0) и М₂(1/6,1/6).

Далее находим частные производные второго порядка: , , .

В точке :

, .

Следовательно, , и, значит, точке функция не имеет локального экстремума.

В точке : . Следовательно, и так как , то в точке функция имеет локальный минимум.

22. Найти точки локального экстремума функции .

Решение. Вычисляем частные производные функции и приравниваем их нулю:

.

Решая эту систему, находим две точки возможного экстремума: и .

Вычисляем частные производные второго порядка данной функции: , .

В точке : , и, значит, . Поэтому точка требует дополнительного исследования.

Значение функции в этой точке равно нулю: . Далее, при имеем , а при имеем . Следовательно, в любой окрестности точки функция принимает значения, как большие , так и меньшие . Следовательно, в точке функция не имеет локального экстремума.

В точке : , тогда . Так как , то в точке функция имеет локальный максимум.