7.10. Задачи для самостоятельного решения
Вычислите пределы:
7.1.
;
7.2.
;
7.3.
;
7.4.
.
Вычислите
повторные пределы
и
,
если:
7.5.
,
;
7.6.
,
;
7.7.
,
;
7.8.
,
.
Найдите точки разрыва следующих функций:
9.7.
;
7.10.
;
7.11.
;
7.12.
;
7.13.
;
7.14.
;
7.15.
.
Исследуйте следующие функции на непрерывность по отдельны переменным и по совокупности переменных:
7.16.
в точках
и
;
7.17.
в точках
и
;
7.18.
в точках
и
;
7.19.
в точках
и
;
7.20.
в точках
и
;
7.21.
в точках
и
и
?
Ограничены ли следующие функции:
7.22.
в круге
;
7.23. вне круга ;
7.24.
при
(a
и b
– числа);
7.25.
при
.
Найдите частные производные следующих функций:
7.26.
; 7.27.
;
7.28.
;
7.29.
;
7.30.
;
7.31.
;
7.32.
; 7.33.
;
7.34.
;
7.35.
;
7.36.
; 7.37.
.
7.38.
Существует ли частная производная
функции
в точке (0, 1)?
Исследуйте,
имеет ли функция
частные производные в точке
и дифференцируема ли она в этой точке,
если:
7.39.
; 7.40.
;
7.41.
; 7.42.
;
7.43.
; 7.44.
;
7.45.
; 7.46.
7.47.
; 7.48.
;
7.49.
; 7.50.
Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности:
7.51.
в точке
;
7.52.
в точке
;
7.53.
в точке
;
7.54.
в точке
;
7.55.
в точке
.
Является
ли плоскость
касательной в точке
:
7.56. к параболоиду вращения ;
7.57.
к конусу
;
7.58. к гиперболическому параболоиду ?
Найдите частные производные следующих сложных функций (функции f и g считаются дифференцируемыми):
7.59.
;
7.60.
;
7.61.
;
7.62.
;
7.63.
; 7.64.
;
7.65.
.
В каждом из следующих случаев проверьте, что функция удовлетворяет соответствующему уравнению, если f – произвольная дифференцируемая функция:
7.66.
;
7.67.
;
7.69.
;
7.70.
;
7.71.
;
7.72.
.
Найдите дифференциал функции:
7.73.
в точках
и
;
7.74.
в точках
и
;
7.75.
в точках
и
;
7.76. в точках и ;
7.77.
в точках
и
.
Найдите частные производные второго порядка следующих функций:
7.78.
; 7.79.
;
7.80.
; 7.81.
;
7.82.
; 7.83.
;
7.84.
;
з)
.
Найдите частные производные указанного порядка:
7.85.
и
,
если
;
7.86.
,
если
;
7.87.
,
если
.
Докажите, что функция
7.88.
(а
и
– числа) удовлетворяет уравнению
теплопроводности
.
7.89.
,
где
,
удовлетворяет при
уравнению
Лапласа
.
Разложите данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в данной точке :
7.90.
;
7.91.
;
7.92.
.
Разложите данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в данной точке до членов указанного порядка включительно:
7.93.
,
,
до членов второго порядка;
7.94.
,
до членов третьего порядка.
Найдите точки локального экстремума следующих функций двух переменных:
7.95.
;
7.96.
;
7.97.
;
7.98.
;
7.99.
;
7.100.
;
7.101.
;