5.2. Расчет интерференционнойткартины от двух

когерентных источников

Рассмотрим два источника сферическх волн S₁ и S₂, находящиеся на расстоянии l от плоскости, где наблюдается интерференци-

Рис. 5.1

онная каритина и произвольную точку P, лежащую в этой плоскости и где втречаются волны, идущие от этих источников. Расстояния, на которых находится точка Р от этих источников S₁ и S₂ обозначим r₁ и r₂ соответственно (рис. 6.1). Найдем разность хода волн ∆₀ = r₂ – r₁ волн от источников S₁ и S₂ до точки наблюдения P. Из рис. 4 видно, что

,

где x – вертикальная координата точки P (расстояние от точки Р до центра интерференционной картины О). Вычтя из второго равенства первое и учтя, что поскольку расстояние между источниками d << l, а значит, и получим

D₀ @ x d / l. (6.1)

Если бы лучи S₁P S₂P распространялись в средах с различными показателями преломления n₁ n₂ соответственно, то вместо разности хода ∆₀ следовало бы брать оптическую разность хода ∆ = n₂r₂ – n₁r₁. Если указанные лучи распространяются в средах с одинаковой оптической плотностью, т.е. с показателями преломления n₁ = n₂ = n, то

∆ = n∆₀ = n x d / l. (6.2)

Так как отверстия S₁ и S₂ одинаковы, а r₁ @ r₂ (поскольку D₀ << << l ), то интенсивности I₁(P) и I₂(P), создаваемые источниками S₁ и S₂ в точке P, можно считать одинаковыми, поэ-тому результирую- щую интенсив- ность I(P) в точке P млжно расчитать по формуле

I(P) = 2I₁ (Р)(1 + cosd).

Из этой формулы видно, что максимальное значение интенсивнос

ти I_max = 4I₀ достигается при kD = (2p / l₀)D = 2m×p, где m = 0, 1, 2, …, т.е. при разности хода D, равной целому числу длин волн: D = ml₀. Минимальное значение интенсивности I_min = 0 имеет место при

(2p / l₀) D = (2m + 1)p,

т.е. при разности хода, равной полуцелому числу длин волн: D = = (m + 1 / 2)l₀. Целое число m называется порядком интерференции. На экране, на которм расположена точка Р, наблюдается распределение максимумов и минимумов интенсивности, называемых интерференционными максимумами и минимумами.

Подставляя в (2.4) значение D = nD₀ = n x d / l, получим зависимость интенсивности света на экране от координаты x:

I(x) = 2I₀ = 4I₀ cos ² , (2.7)

где l = l₀ / n – длина волны света в среде. Из формулы (2.7) видно, что интенсивность имеет одно и то же значение при x = const, т.е. вдоль прямой, перпендикулярной плоскости, содержащей оптическую ось O₁O. Иными словами, прямые x = const представляют собой линии одинаковой интенсивности. При этом максимум интенсивности наблюдается на прямых

x = x_m = m l l / d,

а минимум – на прямых

x = x_m = (m + 1 / 2) l l / d.

В интервале между указанными прямыми, интенсивность света принимает некоторые промежуточные значения между I_min и I_max.

Угловое расстояние j_m максимума m-го порядка от плоскости симметрии (плоскости x = 0) при малых m, а значит, и при малых углах j_m, когда x_m / l = tgj_m @ sinj, определится из соотношения

d sinj_m = ml,

а минимум – из соотношения

d sinj_m = (m + 1 /2)l.

Таким образом, распределение интенсивности света на экране Э имеет вид плавно чередующихся темных и светлых полос, которые, как уже говорилось, называются интерференционными полосами. Освещенность всех светлых полос одинакова. Вдоль прямой x = 0 расположен максимум, соответствующий нулевой разности хода (D = 0). Порядок этого максимума m = 0. Этот максимум называется нулевым или центральным максимумом. Вверх и вниз от центрального максимума на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы и минимумы первого (m = 1), второго (m = 2) и т.д. порядков.

Ширина интерференционной полосы

h = x_m – x_{m – 1} = l l / d, (2.8)

где x_i (i = m, m – 1) – координата i-го максимума или минимума,

или

h = l / b,

где b @ d / l – угол схождения интерферирующих лучей. Выражение (2.8) можно получить и из того условия, что при переходе от одной светлой или темной полосы к другой такой же полосе аргумент косинуса в (2.7) изменяется на 2p, т.е. из условия

[2pd / (l l)] Dx = 2p, Dx = h.

Из выражения (2.8) видно, что ширина интерференционной полосы не зависит от ее номера m и является постоянной при заданных значениях l, d и l. Она представляет собой пространственный период интерференционной картины. При постоянных значениях l и l уменьшение расстояния d между источниками S₁ и S₂ приводит к уширению интерференционных полос; интерференционная картина становится более отчетливой (контрастной). К

Рис. 6.

этому же результату приводит и увеличениение расстояния от источников S₁ и S₂ до экрана Э при неизменном расстоянии между источниками d. Чтобы интерференционная картина наблюдалась невооруженным глазом, ширина полосы h должна быть не меньше 1 мм. Тогда для l @ 0,5 мкм будем иметь d / l @ 0,5×10 ^{- 3}, так что условие d << l выполняется.

Формула (2.8) позволяет по измерению ширины интерференционной полосы h и известным параметрам d и l схемы определить длину волны света l.

Используя выражение для ширины интерференционной полосы, формулу (2.8), описывающую распределение интенсивности в интерференционной картине можно записать в обобщенном виде

I(x) = 2I₀ . (2.9)

Отсюда видно, что величина h является периодом изменения интенсивности в интерференционной картине. График зависимости I(x) изображен на рис. 6.

Поскольку в этом опыте I₁(P) @ I₂(P), то видность интерференционной картины V в этом опыте близко к единице. Отметим также, что при смещении источника S вдоль линии, параллельной оси X, интерференционные полосы тоже смещаются вдоль оси X: вниз при смещении источника вверх и вверх при смещении источника вниз.