Глава 5
РЕАЛИЗАЦИЯ СВЕРТКИ И ДРУГИХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
5.1. Импульсная характеристика оптической системы
Свойство линейности оптических систем существенно облегчает анализ их отклика на входной сигнал сложной формы, так как для этого нужно знать только отклик системы на сигнал простой формы и уметь представить входной сигнал как суперпозицию таких простых сигналов. Выходной сигнал тогда будет равен суперпозиции таких откликов. Если в качестве входного сигнала E(x, y) взять элементарный источник волн в виде точечного источника, описываемого дельта-функцией (E(x, y) = (x, y)), то реакция (отклик) на такое воздействие
(9.2)
называется импульсной характеристикой (или импульсным откликом) оптической системы. Ее называют также функцией пропускания оптической системы. Таким образом, под импульсной характеристикой оптической системы подразумевается отклик (реакция) оптической системы на воздействие, имеющее вид единичного импульса (дельта-функции). Как видим, понятие импульсной характеристики вводится, когда распределение комплексных амплитуд поля в плоскости предмета определяется -функцией. Можно сказать, что импульсная характеристика (функция пропускания) – это распределение амплитуды светового поля в плоскости изображения, которое получается при изображении системой точечного источника света. Физический смысл импульсной характеристики состоит в том, что он представляет собой поле точечного источника, моделью которого может служить маленькое прямоугольное отверстие в плоском экране с большой интенсивностью поля в отверстии. Другими словами, импульсная характеристика – это поле в произвольной точке (x, y, z), создаваемое двумерным точечным источником
E(x, y, 0) = (x) (y)
Импульсная
характеристика полностью определяет
оптическую систему. Это означает, что
отклик
на произвольный сигнал
определяется функцией
.
Чтобы убедиться в этом, представим
входной сигнал в виде суперпозиции
бесконечно большого числа элементарных
точечных источников – двумерных
-функций:
E(x,
y)
=
(9.3)
(предполагается,
что функция E(
)
непрерывна в точке x
=
y
= ).
Соотношение (9.3) записано на основании
фильтрующего свойства -функции.
Поскольку поле в выходной плоскости
X′Y′
связано с полем во входной плоскости
XY
соотношением
то
с учетом (9.2) и (9.3) получим
E
(x,
y
) =
Если
рассматривать
как весовой коэффициент для элементарной
функции
(он определяет «вес» элементарного
источника в разложении (9.3)) и воспользоваться
свойством линейности (9.1), будем иметь
E
(x,
y
) =
.
Учитывая (9.2) и заменив переменные x и y на x и y, а и на x и y, окончательно получим
E
(x,
y
) =
.
(9.4)
(Напомним,
что x
и y
принимают те же значения, что и x
и y).
Таким образом, выходной
сигнал
оказывается представленным в виде суммы
(интеграла) элементарных откликов
с весовыми коэффициентами E(x,
y).
Это выражение можно трактовать и иначе,
а именно: каждый элементарный сигнал в
точке (x,
y)
на входе передается на выход с весовой
функцией
и выходной сигнал является суммой всех
элементарных сигналов.
Получим соотношение (9.4) другим способом. Будем характеризовать оптическую систему функцией пропускания h(x, y; x, y), Учтем, что функция пропускания представляет собой комплексную амплитуду поля (регистрируемого на единицу площади в плоскости XY) в точке (x, y) выходной плоскости XY, обусловленную полем с единичной амплитудой и нулевой фазой в точке (x, y) входной плоскости XY. Тогда если E(x, y) – амплитуда поля в точке (x, y) входной плоскости, то элемент поверхности, содержащий точку (x, y), создает поле
в
точке
выходной плоскости. Полное поле в точке
найдем,
проинтегрировав это выражение по площади
источника. Интегрирование можно провести
и по бесконечным пределам, так как для
всех точек входной плоскости, от которых
свет не попадает в выходную плоскость,
величина E(x,
y)
равна нулю. Это и приводит к соотношению
(9.4).
Дельта-функция
модулирует узкий и высокий «импульс»
в точке (x,
y)
(точечный источник света). По этой причине
функцию
называют импульсным откликом системы.
Выражение (9.4) называется интегралом
суперпозиции. Он показывает, что линейная
оптическая система полностью
характеризуется ее откликом на точечный
сигнал. Таким образом, для линейной
оптической системы сигнал на выходе
определяется откликом системы на
-функцию,
которая располагается последовательно
во всех точках плоскости входного
сигнала (плоскости предмета XY).
Отсюда следует, что для линейных
оптических систем формирования
изображения влияние отдельных элементов
(линз, диафрагм и т.д.) можно полностью
учесть, если располагать последовательно
в предметной плоскости точечный источник,
определяя при этом отклик системы, т.е.
структуру изображения точки. Зная
импульсную характеристику линейной
оптической системы, можно решить любую
задачу о прохождении оптического сигнала
через такую систему.
Поскольку
импульсную функцию можно рассматривать
как комплексную амплитуду в точке
изображения точечного источника, то
она (рассматриваемая как функция от x,
y)
имеет резкий максимум в точке изображения
(в точке x
=
x,
y
= y)
или вблизи от нее и быстро спадает с
увеличением расстояния до этой точки.
В скоррегированной оптической системе
(в системе с достаточно ослабленными
аберрациями) функция
имеет
заметную величину лишь в области, размер
которой порядка диаметра светового
кружка в дифракционной картине Эри. Как
функция координат x,
y
функция
изменяется очень слабо при перемещении
точки по поверхности предмета. Она не
зависит и от самой точки изображения.
В скоррегированной системе функция
описывает с точностью до постоянного
множителя картину Эри, центр которой
находится в точке изображения.
Как уже отмечалось, важный класс линейных оптических систем составляют так называемые пространственно-инвариантные (или изопланарные) системы. Эти системы инвариантны относительно сдвигов в координатной области. Следствием этого является то, что импульсная характеристика h зависит не от координат x и x, y и y порознь, а от их разностей x – x и y – y:
h(x, y; x, y ) = h(x – x; y – y). (9.5)
Для систем формирования изображения условие (9.5) означает, что при изменении положения точечного источника его изображение меняет только расположение, но не свою функциональную форму, форма выходного сигнала не зависит от смещения входного сигнала. Заметим, что оптические системы, как правило, не являются пространственно-инвариантными по всем входной и выходной плоскостям. Однако они обычно пространственно-инвариантны внутри достаточно малых областей (обычно вблизи оптической оси системы), которые называют изопланарными участками. Тогда для любого изопланарного участка систему считают линейной и пространственно-инвариантной. Условие изопланарности хорошо выполняется при распространении света в свободном пространстве, а также при использовании в оптической системе линз с достаточно плавным изменением аберраций по полю и небольшим относительным отверстием.
Для линейных пространственно-инвариантных систем интеграл суперпозиции (9.4) представляет собой свертку распределения поля в плоскости предмета (входного сигнала) с импульсной характеристикой оптической системы:
E
(x,
y
) =
(9.6)
или при использвании обозначение свертки,
E (x, y ) = E(x, y)h(x, y; x, y ).
Это соотношение устанавливает связь между входным и выходным сигналами линейной пространственно-инвариантной системы с помощью импульсной характеристики. Выражение (9.6) показывает важное свойство выходной реакции линейной пространственно-инвариантной системы: выходная реакция является сверткой ее импульсной характеристики с входным воздействием. Возможность представления выходного сигнала в виде интеграла суперпозиции является отличительным признаком линейности системы.
Если в выражение (9.6) вместо E(x, y) подставить (x, y), то, в соответствии с фильтрующим свойством -функции, получим
E
(x,
y
) =
= h(x,
y
).
Это подтверждает сказанное выше о том, что импульсная характеристика оптической системы характеризует выходной сигнал системы при точечном источнике света в качестве входного сигнала.
Часто импульсная характеристика оптической системы обладает свойством зеркальной симметрии, а именно
h(x, y) = h(– x, – y);
h(x
– x;
y
– y) = h
.
Для таких систем соотношение (9.6) можно переписать в виде
E
(x,
y
) =
.
Это выражение определяет корреляцию двух функций: E(x, y) и h(x, y). Следовательно, для линейных систем с импульсной
Рис. 9.2 |
К
интегралу суперпозиции (9.6), называемому
также интегралом Дюамеля, можно придти
и иначе. Покажем это в случае одномерного
сигнала. Пусть входной сигнал E(x)
имеет вид, показанный на рис. 9.2. Разобьем
этот сигнал на элементарные прямоугольные
импульсы (один из таких импульсов показан
на рис. 9.2) и найдем отклик оптической
системы в точке x
на
элементарный импульс, действующий на
входе в точке x.
Если бы площадь этого импульса равнялась
единице, то его можно было бы рассматривать
как дельта-функцию, возникающую в точке
x.
При импульсной характеристике оптической
системы h(x)
отклик
в точке x
был
бы, очевидно, равен
Поскольку, однако, площадь этого импульса
равна E(x)x,
а не единице, отклик в точке x
будет
Для определения полного значения
выходного сигнала в точке x
нужно просуммировать действие всех
импульсов в интервале от x
=
0
до x
= x.
При x
0
суммирование сводится к интегрированию.
При этом, поскольку функция h(x)
узкая, интегрирование можно распространить
на бесконечные пределы. Тогда в случае
одномерного сигнала можно записать
E
(x
)
=
.
Введем
теперь понятие импульсного отклика
линейного спектрометра. Пусть
– функция спектрального распределения
энергии на входе линейной системы.
Соответствующая функция на выходе будет
Функция
может быть либо спектром, наблюдаемым
с помощью дифракционной решетки в
зависимости от циклической частоты
или длины волны ,
либо откликом в оптическом спектральном
анализаторе. Пусть, далее, функция на
входе
состоит из суммы единичных импульсов
=
.
Функция на выходе
=
=
=
или
где
Определенную таким образом функцию
и называют импульсным откликом
спектрометра. Полученное соотношение
определяет связь между функциями
спектрального распределения энергии
на входе и выходе спектрального прибора
и представляет собой основное уравнение,
определяющее характерные свойства
спектрометров.