1.2.4. Корреляция

Корреляция является широко распространенным методом обработки различных сигналов. Она находит применение и в оптике. С понятием корреляции мы уже встречались в третьей главе. Корреляция является, по существу, методом оценки и определения взаимных связей, имеющих форму подобий или совпадений. Пусть имеем одном6ерный зависящий от времени детерминированный сигнал f(t) конечной длительности. Интеграл

где τ – величина временного сдвига сигнала, называется автокорреляционной функцией сигнала f(t). Она характеризует степень связи (корреляции) сигнала f(t) со своей копией, сдвинутой на величину τ по оси времени. Так как любой сигнал

полностью коррелирован с самим собой, то ясно, что при τ = 0 корреляционная функция достигает максимума. При этом величина определяет энергию сигнала. Как видим, максимальное значение автокорреляционной функции равно энергии сигнала.

С увеличением τ корреляционная функция убывает и при сдвиге τ, превышающем длительность сигнала, автокорреляционная функция обращается в нуль.

Заменив время t на пространственную переменную x, получим автокорреляционную функцию одномерного пространственного сигнала f (x):

с (a) =

где a – величина сдвига сигнала f (x) вдоль положительного

направления оси X. Сигнал f (x) имеет отличные от нуля значения только в конечном интервале значений переменной x. Функция c(a) имеет максимум при a = 0 и обращается в нуль при тех значениях а, при которых функции f (x) и f (x - а) перестают перекрываться.

На рис.8.4. показано построение автокорреляционной функции для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса, координаты начала и конца которого равны соответственно x₁ и x₂ (рис. 8.4, а). Сдвинутый на величину а по оси x > > 0 сигнал f (x – a) показан на рис. 8.4, б, а произведение – на рис. 8.4, в в виде площади заштрихованного прямоугольника. График функции с (a) представлен на рис. 8.4, г. Каждому значению а соответствует свое произведение и своя площадь под его графиком. Численные значения таких площадей для соответствующих значений а и дают ординаты функции с(a). Таким образом, значение с(a) для любых выбранных значений а получается смещением функции относительно себя самой на величину а и определением площади перекрытия.

Для оценки степени связи между двумя различными сигналами

f(x) и g(x) используется взаимная корреляционная (или кросскорреляционная) функция, определяемая как

Рис. 8.4

с₁₂ (а) =

Автокорреляционная функция с (a) является частным случаем функции с₁₂ (a), когда сигналы f(x) и g(x) одинаковы.

Чтобы кросскорреляционную функцию можно было описать сдвигом а и в отрицательном направлении оси X следует ее переписать следующим образом:

с₁₂ (а) =

и аналогично для автокорреляции.

Обе корреляционные функции могут быть определены и для двумерных сигналов. В частности, кросскорреляционная функция двумерных сигналов f(x, y) и g(x, y)

c₁₂ (a, b) = =

=

Здесь a и b – смещения функции g(x, y) вдоль координатных осей X и Y соответственно.

Для обозначения корреляции будем использовать символ ◦ Тогда c (a, b) = f(x, y) ◦ f(x, y) и c₁₂ (a, b) = f(x, y) ◦ g(x, y).

Определение функции одномерной взаимной корреляции часто выражается в несколько иной форме, а именно:

с₁₂ (x) = f(x) ◦ g(x) =

и аналогично для автокорреляции. В этом выражении x является смещением, а x – вспомогательной переменной интегрирования.

Отсюда видно, что корреляция подобна свертке, но отличается тем, что функция g(x) сдвигается, а не переворачивается (перегибается). В двумерном случае:

c₁₂ (a, b) = f(x, y) ◦ g(x, y) =

Если функции f(x) и g(x) комплексные, то принято определять комплексную автокорреляционную функцию

с (x) = f(x) ◦ =

и комплексную кросскорреляционную функцию

с₁₂ (x) = f(x) ◦ g (x) =

При этом, если звездочка связана с другой функцией, то получается сопряженный результат. Отметим также, что

f(x) ◦ g (x) = f(x) g (- x)

Часто бывает удобно нормировать корреляцию. Для этого корреляционные функции делят на центральное значение корреляции, т.е. на значение при x = 0 (нулевой сдвиг). В итоге получаем нормированную автокорреляционную функцию

и нормированную кросскорреляционную функцию

.

.