Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Математика

Файл:

Математические формулы - Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫

1 arccos

;

2 2

b x

− a

∫

b2x2 − a2

;

x2 b2x2 − a2

a2x

∫

= −

−

)

n+1

)

m−2

(b x

− a

(m − 2) b x

(b x

− a

−

n +1

(m . 3);

(m − 2) b2

∫xn+2 (b2x2 − a2)m−2

∫

b2x2 − a2 dx =

x b2x2 − a2

−

bx + b2x2 − a2

;

ma2

∫

(b2x2 − a2)m dx =

(b2x2 − a2)m − m +1 ∫ (b2x2 − a2)m−2 dx;

m +1

∫xn (b2x2 −a2)m dx =

xn−1 (b2x2 −a2)m+2

(n −1) a2

∫xn−2 (b2x2 −a2)m dx;

(m + n +1) b2

∫

b2x2 − a2

dx =

b2x2 − a2 − aarccos

;

∫

(b2x2 − a2)m

dx = −a2

∫

(b2x2 − a2)m−2

dx + b2 ∫

(b2x2 − a2)m−2

dx .

xn−2

4.3. Интегралы от тригонометрических функций.

И н т е г р а л ы ,

с о д е р ж а щ и е

с и н у с

(n . 0 — целое, a . 0 — действительное).

∫sinn ax dx = − sinn−1 axcosax + n −1 ∫sinn−2 na n

∫xn sin ax dx = − xn cosax + n ∫xn−1 cosax dx a a

ax dx (n > 0) ;

(n > 0) ;

sin ax

(ax)3

(ax)5

(ax)7

∞

(−1)k(ax)2k+1

∫

dx = ax −

−

+… = ∑

;

3 3!

5 5!

7 7!

(2k +1) (2k +1) !

k=0

sin ax

cosax

∫

dx = −

xn−1

∫ xn−1

dx ;

n −1

cosax

n − 2

∫

= −

n −1 ∫

;

sinn ax

a(n −1)

sinn−1 ax

sinn−2 ax

4.3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

∫

x dx

(ax)3

7(ax)5

31(ax)7

127 (ax)9

+…+

sin ax

3 3!

5 5!

3 7

2n−1

−1)

2(2

B (ax)2n+1 +

…

− числа Бернулли);

(2n +1) !

∫

x dx

= − a ctg ax +

sin ax

;

sin2 ax

∫

x dx

= −

xcosax

−

sinn ax

(n −1) asinn−1 ax

(n −1)(n − 2) a2 sinn−2 ax

n − 2

∫

x dx

+ n −1

(n > 2);

1 tg π

sinn−2 ax

∫

;

1 ± sin ax

∫

x dx

= −

−

;

cos

1 + sin ax

∫

x dx

−

;

ctg

sin

1 − sin ax

∫

sin ax dx

= ±x +

1 tg π

;

1 ± sin ax

1 tg π

1 ln

tg ax

;

∫sin ax (1 ± sin ax)

= −

−

;

∫(1 + sin ax)2

ctg

−

ctg

−

;

∫(1 − sin ax)2

sin ax dx

= −

−

;

∫(1 + sin ax)2

sin ax dx

= −

−

ctg

;

∫(1 − sin ax)2

∫

3sin2 ax −1

arcsin

arctg( 2 tg ax) ;

2 a

ax +1

1 + sin

sin

∫

= ∫

= a tg ax ;

1 − sin2 ax

cos2 ax

∫sin axsin bx dx =

sin (a − b)x

−

sin (a + b)x

(

≠

) ;

2(a − b)

2(a + b)

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

btg

2 + c

arctg

> c

a b2

− c2

b2 − c2

∫b + csin ax

btg ax + c −

c2 − b2

< c

);

btg

+ c +

a c

− b

∫

sin ax dx

∫

− c

;

b + csin ax

∫

− b ∫

;

sin ax (b + csin ax)

b + csin ax

∫

c cosax

∫

;

(b + csin ax)2

a(b2 − c2)(b + csin ax)

b2 − c2

b + csin ax

∫

sin ax dx

bcosax

∫

;

(b + csin ax)2

a(c2 − b2)(b + csin ax)

c2 − b2

b + csin ax


∫		dx
	b2	+ c2 sin2 ax
∫		dx

	b2	− c2 sin2 ax
		=

arctg

b2 + c2 tg ax

b2 + c2

arctg

b2 − c2 tg ax

b2 − c2

c2 − b2 tg ax + b

2ab c2 − b2

c2 − b2 tg ax − b

(b > 0) ;

(b2 > c2, b > 0),

(b2 < c2, b > 0);

И н т е г р а л ы ,

с о д е р ж а щ и е к о с и н у с .

∫cosn ax dx =

cosn−1 axsin ax

n −1

∫cosn−2 ax dx;

∫xn cosax dx =

xn sin ax

∫xn−1 sin ax dx;

− a

cosax

(ax)2

(ax)4

(ax)6

∞

(−1)k(ax)2k

∫

dx = ln(ax) −

−

+… = ln(ax) + ∑

;

2 2!

4 4!

6 6 !

2k (2k) !

k=1

cosax

sin ax

∫

dx = −

−

∫ xn−1

dx (n ≠ 1) ;

(n −1) xn−1

n −1

sec ax dx =

sec ax + tg ax

;

∫cosax

∫

sin ax

n − 2

∫

(n > 1) ;

cosn ax

a(n −1)

cosn−1 ax

n −1

cosn−2 ax

4.3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

∫

x dx

(ax)2

(ax)4

5 (ax)6

61(ax)8

1385 (ax)10

cosax

4 2!

6 4!

8 6 !

8 !

En (ax)

2n+2

− числа Эйлера);

+…+

+…

(2n + 2) (2n) !

∫

x dx

= a tg ax +

cosax

;

cos2 ax

∫

x dx

xsin ax

−

cosn ax

(n −1) acosn−1 ax

(n −1)(n − 2) a2 cosn−2 ax

n − 2

∫

x dx

+ n −1

(n > 2);

cosn−2 ax

∫1 + cosdx ax = a1 tg ax2 ;

∫1 − cosdx ax = − a1 ctg ax2 ;

∫

x dx

= a tg

cos

;

1 + cosax

∫

x dx

= − a ctg

sin

;

1 − cosax

∫1cos+ cosax dxax = x − a1 tg ax2 ;

∫1cos− cosax dxax = −x − a1 ctg ax2 ;

−

;

∫cosax (1 + cosax)

−

;

ctg

∫cosax (1 − cosax)

∫

tg3

;

(1 + cosax)2

∫

ctg3

= −

ctg

−

;

(1 − cosax)2

∫

cosax dx

−

tg3

;

(1 + cosax)2

∫

cosax dx

ctg 2 −

ctg3 2 ;

(1 − cosax)2

∫

1 − 3 cos2 ax

arcsin

;

2 a

1 + cos ax

1 + cos

∫

= − a ctg ax ;

1 − cos2 ax

sin2 ax

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫cosaxcosbx dx =

sin (a − b)x

sin (a + b)x

(

≠

) ;

2 (a − b)

2 (a + b)

(b − c) tg

∫

arctg

> c

b + c cosax

− c

(c − b) tg

+ c2 − b2

< c

);

c2 − b2

(c − b) tg

− c

− b

∫

cosax dx

∫

= c

− c

;

b + c cosax

−

;

∫cosax (b + c cosax)

b ∫b + c cosax

∫

csin ax

−

∫

;

(b + c cosax)2

a(c2 − b2)(b + c cosax)

c2 − b2

b + c cosax

∫

cosax dx

bsin ax

−

∫

;

(b + c cosax)2

a(b2 − c2)(b + c cosax)

b2 − c2

b + c cosax

∫

arctg

btg ax

(b > 0) ;

b2 + c2 cos2 ax

b2 + c2

∫

arctg

btg ax

(b2 > c2, b > 0),

b2 − c2 cos2 ax

ab b2 − c2

b2 − c2

btg ax −

c2 − b2

(b2 < c2, b > 0);

ab c2 − b2

btg ax + c2 − b2

И н т е г р а л ы ,

с о д е р ж а щ и е с и н у с

∫

sin x dx

= − b ln

a + bcos x

;

a + bcos x

∫

sin x dx

(n . 2) ;

(

a + bcos x

(

n −1

(

a + bcos x

n−1

)

∫

sin x dx

= ln

1 ± cos x

;

cos x 1 ± cos x

)

cos x

(

∫

sin x dx

2 ln

tg 4

+ 2

;

cos x 1 ± sin x

)

2 1 ± sin x

)

(

∫

sin x dx

a + bcos x

(a + bcos x)(c + dcos x)

ad − bc

c + dcos x

c + dsin x

∫a + bcos x dx = − b ln

+ bcos x

+ c∫

;

a + bcos x

∫

cos x dx

= b ln

a + bsin x

;

a + bsin x

ик о с и н у с .

(ad − bc ≠ 0);

4.3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

∫

cos x dx

= −

(n . 2) ;

(a + bsin x)n

(n −1) b(a + bsin x)n−1

∫

cos x dx

= ln

sin x

;

sin x (1 ± sin x)

1 ± sin x

∫

cos x dx

= −

;

2 ln

sin x (1 ± cos x)

2(1 ± cos x)

∫

cos x dx

c + dsin x

(ad − bc ≠ 0) ;

a + bsin x

(a + bsin x)(c + dsin x)

ad − bc

c + dcos x

∫a + bsin x dx =

b ln

a + bsin x

+ c∫

;

a + bsin x

∫

= ±

;

2 ln

sin x (1 ± cos x)

2 (1 ± cos x)

;

∫cos x (1 ± sin x)

2 (1 ± cos x)

;

∫sin x ± cos x

x + arccos

;

a2 + b2

∫acos x + bsin x

+ b2

∫

= ∫

d(x − ϕ)

(a = ρcos ϕ, b = ρsin ϕ) ;

(acos x + bsin x)n

ρcos

(

x − ϕ

)

∫

= ±ln

1 ± tg

;

1 + cos x ± sin x

t = x + arctg

;

∫a + bcos x + csin x

∫a +

+ c2 sint

∫

= ∫

d(x − ϕ)

(b = ρcos ϕ, c = ρsin ϕ) ;

(a + bcos x + csin x)n

a + ρcos

(

x − ϕ n

)

∫

sin x dx

sin x

± cos x

;

2 ln

sin x ± cos x

∫

cos x dx

= ±

sin x

± cos x

;

2 ln

sin x ± cos x

tg x

(a > 0, b > 0);

arctg

∫a2 cos2 x + b2 sin2 x

∫

btg x + a

;

btg x − a

a2 cos2 x − b2 sin2 x

2ab

∫

sin xcos x dx

acos2 x + bsin2 x

(a ≠ b).

acos2 x + bsin2 x

2 (b − a)

И н т е г р а л ы ,

с о д е р ж а щ и е т а н г е н с и к о т а н г е н с .

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫tg x dx = −ln

cos x

;

∫tgn x dx =

tgn−1 x

− ∫tgn−2 x dx (n

. 2);

n −1

∫ctg x dx = ln

sin x

;

∫ctgn x dx = −

ctgn−1 x

−

∫ctgn−2 x dx

(n . 2);

n −1

∫

= ±

+ 2 ln

sin x ± cos x

;

tg x ±1

∫

(bln

a + btg x

+ bln

cos x

+ ax);

a + btg x

+ b2

∫tgtg xx dx±1 = x2 12 ln

sin x ± cos x

;

∫

tg x dx

(bx − aln

acos x + bsin x

);

a + btg x

a2 + b2

∫

4 sin 2x ;

1 + tg2 x

(a2

≠ b2 );

x −

arctg

tg x

∫a

+ b tg

x a

− b

a + btg x

x +

;

∫a2 − b2 tg2 x a2 + b2

a − btg x

∫

tg x dx

= −

cos2 x

;

1 + tg2 x

∫

tg x dx

ln (cos2 x + asin2 x)

(a2 ≠ 1);

1 + a2 tg2 x

2 (a2 −1)

∫

sin x ± cos x

;

2 ln

ctg x ±1

ctg x dx

= ±

∫ctg x ±1

2 ln

sin x ± cos x

;

∫

ctg x dx

= ∫

;

a + bctg x

a tg x + b

∫

2 − 4 sin 2x ;

1 + ctg2 x

(a2 ≠ b2 );

x −

arctg

−

ctg x

∫a

+ b ctg

− b

a − bctg x

x +

;

a2 + b2

∫a2 − b2 ctg2 x

a + bctg x

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
24.05.2014148 Кб58Криптография от папируса до компьютера - В.Жельников.pdf
#
24.05.201415 Мб33Математическая энциклопедия (т.1).djvu
#
24.05.201418 Мб26Математическая энциклопедия (т.3).djvu
#
24.05.201422 Мб27Математическая энциклопедия (т.4).djvu
#
24.05.201421 Мб33Математическая энциклопедия (т.5).djvu
#
24.05.20141 Мб37Математические формулы - Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г..pdf
#
24.05.2014117 Кб22О формулах простых чисел - Белотелов В.А..doc
#
24.05.20147 Мб181Основы исследования операций том 1 - Вагнер Г..pdf
#
24.05.201413 Кб4Полеты во сне и наяву - Hиколай Субботин.txt
#
24.05.2014804 Кб37Почему семейная терапия - Вирджиния Сатир.doc
#
24.05.2014316 Кб20Признак разрешимости Диофантовых уравнений (ВТФ, гипотеза Биля). - Белотелов В.А..pdf