Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Математика

Файл:

Математические формулы - Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3015 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

4.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ.

∫

ctg x dx

sin2 x

;

1 + ctg2 x

∫

ctg x dx

∫

tg x dx

;

1 + a2 ctg2 x

+ a2

∫

tg x dx

sin x ± cos x

;

2 ln

cos2 x

1 ± ctg x

∫

tg x dx

b − a

arccos

cos x

;

a + btg2 x

b − a

22n (22n −1)Bn a2n−1x2n+1

∫x tg ax dx =

ax3

a3x5

2a5x7

17a7x9

…+

105

2835

(2n +1) !

(Bn −числа Бернулли);

22n (22n −1)Bn (ax)2n−1

∫

tg ax dx

= ax +

(ax)3

2 (ax)5

17 (ax)7

…+

2205

(2n −1) (2n) !

(Bn −числа Бернулли);

∫

xctg ax dx =

−

ax3

−

a3x5

−…−

22nBn a2n−1x2n+1

(Bn − числа Бернулли);

225

(2n +1) !

∫

ctg ax dx

(ax)3

2 (ax)5

22nBn (ax)2n−1

= −

−

…−

135

4725

(2n −1) (2n) !

(Bn −числа Бернулли).

4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.

∫eax dx = a1 eax ;

∫xneax dx = a1 xneax − ax ∫xn−1eax dx ;

eax

(ax)2

(ax)3

∞

(ax)k

∫

dx = ln x +

2 2!

3 3!

+… = ln x + ∑ k k! ;

1 1!

k=1

eax

−

eax

+ a

eax

(n ≠ 1);

∫

n−1

∫

−1

n −

∫

eax

= a ln

;

1 + eax

∫

ln (b + ceax );

= b

−

b + ceax

∫

eaxdx

ln (b + ceax );

b + ceax

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫eax ln x dx =

eax ln x

∫

eax

− a

dx ;

∫eax sin bx dx =

eax

(asin bx − bcosbx);

a2 + b2

∫eax cosbx dx =

eax

(acosbx + bsin bx);

a2 + b2

(

sin

n−1

n −1

∫eax sinn x dx =

(asin x

− ncos x) +

)

∫eax sinn−2 x dx;

a2 + n2

n−1

(

n −1

cos

∫eax cosn x dx =

(acos x

+ nsin x)

)

∫eax cosn−2 x dx;

a2 + n2

∫xeax sin bx dx =

xeax

(asin bx − bcosbx) −

a2 + b2

−

eax

(a2

− b2) sin bx − 2abcosbx

;

(a2 + b2)2

∫xeax cosbx dx =

xeax

(acosbx − bsin bx) −

a2 + b2

−

eax

(a2

− b2) cosbx − 2absin bx .

(a2 + b2)2

4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.

∫(ln x)n dx = x (ln x)n − n∫(ln x)n−1 dx (n ≠ −1);

∫

= ln

ln x

+ ln x +

(ln x)2

ln x

2 2!

∫

= −

(

ln x

)

(

n −1 ln x

n−1

)(

)

+ (	ln x 3					∞	ln x k
+ (	3 3)! +… = ln				ln x	+ ∑(k k)! ;
	3 3)! +… = ln				ln x	+ ∑(k k)! ;
						k=1
1		∫	dx	(n ≠ 1);
n −1		∫	(ln x)n−1	(n ≠ 1);

∫

xm ln x dx = xm+1

ln x

−

(m ≠ −1);

(

m +1 2

m +1

)

∫xm (ln x)

dx =

xm+1 (ln x)n

−

∫xm (ln x)

n−1

(m ≠ 1, n ≠ −1);

m +1

∫(ln x)n dx = (ln x)n−1 ;

xn +1

∫

ln x

(m ≠ 1);

m dx = −

−

(m −1)x

m−1

(

m−1

)

m −1

∫

(ln x)n

∫

(ln x)n−1

dx = −

dx (m ≠ 1);

(

m −

)

m−1

m −1

+ 1 3 x5

2 4 5 5 a5

arcsin ax + 19 (x2 + 2a2 )

4.6. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. 59

∫

xm dx

= −

xm+1

(

ln x

)

(

n −1 ln x

n−1

)(

)

∫

= ln

ln x

;

xln x

= ln

ln x

−

−1 ln x

∫xn ln x

(

)

m +1	∫	xm dx	(n ≠ 1);
n −1		(ln x)n−1

(n −1)2 (ln x)2

−

(n −1)3 (ln x)3

+… =

2 2!

3 3!

∞

(

−1

n −1 ln x k

= ln

ln x

+ ∑

)(

)

;

k k!

k=1

∫

= −

(n ≠ 1);

(

ln x

)

(

n −1 ln x

n−1

)(

)

∫

= −

− mn

−−11 ∫

(n ≠ 1);

)

m−1

(

)(

)

n−1

(

)

n−1

(

ln x

n −1

ln x

∫sin ln x dx = x2 (sin ln x − cosln x);

∫cosln x dx = x2 (sin ln x + cosln x);

∫eax ln x dx = a1 eax ln x − a1 ∫exax dx .

4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.

	x				x
∫arcsin a dx = xarcsin a						+	a2 − x2 ;
∫	xarcsin	x	x2	−	a2			x	+	x
∫
			dx =			arcsin
		a	a		4			a		4

	x		x3
∫x2 arcsin a dx =			a
	x		xn+1			x	1
∫xn arcsin a dx =					arcsin a		−		∫
∫xn arcsin a dx =			n +1		arcsin a		−	n +1	∫
1	x	x		1		x3
∫x arcsin a dx =		a +
∫x arcsin a dx =		a +		2 3 3		a3

a2 − x2 ;

xn+1dx

;

a2 − x2

1 3 5

+… =

4 6

7 a7

∞

x2k+1

(2i − 1)

∏

+ ∑

= a

i=1

;

a2k+1 2k +1 2

k=1

(

)

∫

x 1

a + a2 − x2

arcsin a dx = − x arcsin a − a ln

;

∫

(n . 2);

arcsin a dx = −

arcsin a

(

)

n−1

n −1

n−1 2

− x

n −1

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫arccos a dx = xarccos a

−

a2 − x2 ;

∫

xarccos

−

− x2 ;

dx =

arccos

(x2 + 2a2 ) a2 − x2 ;

∫x2 arccos a dx =

3 arccos a −

xn+1

xn+1dx

∫xn arccos a dx =

arccos a

∫

;

n +1

a2 − x2

1 x3

1 3

∫x arccos a dx =

2 ln

− a

−

2 3 3

2 4 5 5

(2i − 1)

∞

x2k+1∏

1 3 5

… = π ln

−

x7 −

− x − ∑

i=1

;

2k+1

2 4 6 7 7 a

k=1 a

(2k +1)

∫

x 1

a + a2 − x2

arccos a dx = − x arccos a + a ln

;

∫

arccos a dx = −

arccos a −

;

(

)

n−1

n −1

n−1

− x

−1 x

∫arctg ax dx = xarctg ax − a2 ln (a2 + x2 );

∫xarctg ax dx = 12 (x2 + a2 )arctg ax − ax2 ;

ax3

∫x2 arctg a dx

3 arctg a −

ln (x2 + a2 );

xn+1

xn+1dx

∫xn arctg a dx

arctg a

−

∫

≠ −1);

n +1

x2 + a2

∞

(

−1

2k+1

∫xarctg a dx = a

−

+…=

∑

(

);

3 3 a3

5 a5

7 7 a7

2k+1

k=0 (

)

∫

x2 + a2

arctg a dx = − x arctg a

−

;

∫

arctg a dx = −

arctg a

(

)

n−1

n −1

∫arcctg ax dx = xarcctg ax + a2 ln (x2 + a2 );

∫xarcctg ax dx = 12 (x2 + a2 )arcctg ax + ax2 ;

x	x3	x		ax2		a3
∫x2 arcctg a dx =	3 arcctg a		+		−		ln (x2
				6		6

dx	(n ≠ 1) ;
xn−1 (x2 + a2 )

+ a2 );

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3015 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
24.05.2014148 Кб58Криптография от папируса до компьютера - В.Жельников.pdf
#
24.05.201415 Мб33Математическая энциклопедия (т.1).djvu
#
24.05.201418 Мб26Математическая энциклопедия (т.3).djvu
#
24.05.201422 Мб27Математическая энциклопедия (т.4).djvu
#
24.05.201421 Мб33Математическая энциклопедия (т.5).djvu
#
24.05.20141 Мб37Математические формулы - Цыпкин А.Г. Цыпкин Г.Г..pdf
#
24.05.2014117 Кб22О формулах простых чисел - Белотелов В.А..doc
#
24.05.20147 Мб180Основы исследования операций том 1 - Вагнер Г..pdf
#
24.05.201413 Кб4Полеты во сне и наяву - Hиколай Субботин.txt
#
24.05.2014804 Кб37Почему семейная терапия - Вирджиния Сатир.doc
#
24.05.2014316 Кб20Признак разрешимости Диофантовых уравнений (ВТФ, гипотеза Биля). - Белотелов В.А..pdf