Вопрос 8. Двойные измерения. Оценка точности по результатам

двойных измерений.

В практике геодезических измерений нередко приходится измерять большое число однородных величин, причем каждую величину измеряют для контроля только два раза. Удовлетворительно оценить точность каждой измеренной величины при числе измерений n = 2 невозможно. Легко показать, что применение распределения Стьюдента при n = 2 для установления доверительных интервалов с принятой надежностью дает лишь формальный ответ.

Возникает вопрос, нельзя ли, пользуясь всеми разностями двойных измерений однородных величин, оценить точность измерений?

Пусть некоторые однородные величины X₁, X₂,…X_n измерены каждая дважды и получено в результате измерений

. (1)

Пользуясь рядами (1), можно вычислить разности двойных измерений

(2)

и использовать эти разности для оценки точности.

В практике обычно встречаются два случая: все измерения и равноточны и случай, когда измерения в парах равноточны, но пары между собой неравноточны.

Рассмотрим первый случай.

Пусть все величины и в рядах (1) равноточны. Если бы измерения были безошибочными, то , очевидно, разности - в правой части каждого равенства (2) были бы равны нулю. Следовательно, каждая разность d_i есть истинная ошибка самой разности и для средней квадратической ошибки m_d разности d можно написать

и приближено

, (3)

где n – число всех разностей.

Обозначим среднюю квадратическую ошибку одного измерения через и по правилу для средней квадратической ошибки алгебраической суммы равноточных слагаемых напишем

.

Следовательно,

,

откуда

. (4)

Наиболее надежные значения величин X_i, каждая из которых измерена два раза, вычисляют как средние арифметические из соответствующих результатов измерений и , т. е.

.

Так как , то на основании формулы (4) для средней квадратической ошибки вычисленных значений величин X_i напишем

. (5)

Если имеем два равноточных результата измерений одной и той же величины, выполненных одинаково, то можно полагать, что их систематические ошибки близки одна к другой и систематическое влияние разности таких результатов будет в значительной мере погашаться. Поэтому систематические ошибки в разностях d_i двойных результатов измерений называют остаточными систематическими ошибками.

При достаточно большом числе n двойных измерений среднюю величину остаточной систематической ошибки в разностях d_i на основании компенсационного свойства случайных ошибок находят как среднее арифметическое из этих разностей, т. е.

. (6)

Величину при обработке двойных измерений исключают из разностей d_i и находят величины

. (7)

По свойству уклонений отдельных чисел от их среднего арифметического будем иметь

, (8)

в чем на основании равенства (6) легко убедиться:

.

Так как величины d_i получены из измерений, то уклонения можно рассматривать как уклонение от средней разностей d_i и по известной формуле Бесселя для средней квадратической ошибки m_d любой разности d_i написать

; (9)

для средней квадратической ошибки одного измерения отсюда легко получим

. (10)

Вычисление суммы контролируется по формуле

, (11)

Для вычисления средней квадратической ошибки одного измерения мы получили формулы (4) и (10). Поэтому возникает вопрос: при каком систематическом влиянии следует пользоваться формулой (10)?

Если в качестве условия, при котором можно не применять формулы (7) и (10), принять неравенство

,

то на основании соотношения между средней и средней квадратической ошибками напишем

или

, (12)

где .

Если условие (12) окажется выполненным, то для получения характеристики случайных влияний на одно измерение следует пользоваться формулой (4).

Заметим, что если , т. е. если , то причины появления такого значения систематических влияний и способы их учета необходимо специально исследовать. Можно отметить также, что по величине нельзя судить о систематических ошибках измерений и , так как представляет собой среднее значение лишь остаточных систематических ошибок.

Таким образом, по двойным измерениям можно получить оценку лишь случайных влияний, т. е. только .