Затухающие колебания Уравнение затухающих колебаний

В любой реальной колебательной системе есть силы сопро­тивления (трения), действие которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания называют затухающими.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая, что на частицу массы т действует кроме квазиупругой силы (-kх) сила сопротивления, пропорциональная скорости части­цы (простейший, и вместе с тем наиболее часто встречающийся случай), , где r — коэффициент сопротивления (величина размерная). Тогда уравнение движения будет иметь вид

, (3.1)

или

, (3.2)

где 2β = r/m, . Отметим, что ω₀ — это частота свобод­ных колебаний без трения. Частоту ω₀ называют собственной частотой осциллятора, а β — коэффициентом затухания.

Эксперимент показывает, что смещение x точки от положения равновесия удовлетворяет зависимости

, (3.3)

где a₀ – амплитуда колебаний в начальный момент времени и α – начальная фаза колебаний. Анализ выражения (3.3) показывает, что величина ω является частотой затухающих колебаний. Можно установить зависимость величины ω от параметров ω₀ и β, если, пользуясь выражением (3.3), найти , и подставить найденные выражения в (3.2). После преобразований (проведите их самостоятельно) получим:

. (3.4)

Г

Рисунок 3.1

рафик функции (3.3) показан на рис. 3.1 для случая х₀ > 0 и . Затухающий колебательный процесс не является в строгом смысле пери­одическим. Действительно, рассмотрим момент времени t_n, когда cos(ωt_n + α) = 1 и следовательно x(t_n)=a(t_n)= . Ясно, что при любом t > t_n x(t) < x(t_n), т. е. значение функции x(t_n) не повторяется ни при каких t > t_n. Ясно в то же время, что благодаря гармоническому множителю cos(ωt + α) функция x(t) обладает определенной повторяемостью: в частности, повто­ряются через равные промежутки времени как нулевые значения функции x(t), так и ее максимумы и минимумы. Поэтому величину Т = 2π/ω принято называть периодом зату­хающих колебаний:

. (3.5)

Множитель а = а₀е^-βt перед косинусом в (3.3) называют ам­плитудой затухающих колебаний (пунктир на рис. 3.1).

Энергия затухающих колебаний

Эта энергия складывается из потенциальной и кинетической: Ε = kx²/2 + т /2. После подстановки сюда выражений x(t) и (t), соответствующих затухающими колебаниям (3.3), получим зависимость E(t), которая графически показана на рис. 3.2. Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы равна – r · = – r , тогда dE/dt = – r .

Т

Рисунок 3.2

аким образом, dE/dt < 0, кроме тех моментов, когда = 0. При малом затухании (β << ω₀) зависимость E(t) становится практически экспоненциальной:

, (3.6)

Отсюда убыль энергии в единицу времени

– dE/dt = 2βE. (3.7)