Пошук залежності
Не важко замітити що елементи, які знаходяться на відстані х = 1 від центру описуються залежністю:
а(х, у) = а0 + у
Знаючи, що друга різниця між двома сусідніми числами на гілці дорівнює 8, до даної залежності дописують доданок (8 + у)(х - 1), який не впливає на результати попередньої функції за рахунок множення на (х - 1).
а(х, у) = а0 + у + (8 + у)(х - 1)
Введення цього доданку привело до того, що функція стала справедлива для випадків коли х = 1 та х = 2.
Методом підбору визначити, що потрібний ще один доданок виду:
х: 1 2 3 4 5 6
доданок: 8*0 8*0 8*1 8*3 8*6 8*10
де підкресленні значення описуються функцією:
q(1) = 0
q(x) = x – 2 + q(x - 1)
Отже шукана функція:
а(х, у) = а0 + у + (8 + у)(х - 1) + 8q(x)
Спростивши її отримуємо остаточний варіант:
а(х, у) = а0 + 8(x + q(x) - 1) + xy
q(x) = x – 2 q(x - 1) де q(1) = 0, x є N
Для прикладу розглянемо пошук числа що задається координатами х = 3, у = 7. Початковий елемент спіралі а0 = 57.
Спочатку потрібно знайти q(3), оскільки х = 3.
q(1) = 0
q(2) = 2 – 2 + 0 = 0
q(3) = 3 – 2 + 0 = 1
Далі підставляємо отриманий результат в формулу:
а(3, 7) = 57 + 8(3 + 1 - 1) + 3*7 = 57 + 24 + 21 = 102
Відповідь: шукане число 102.
Приклад №5
Хід роботи:
Побудувати k+ - спіраль, де k = 29.
129 |
128 |
127 |
126 |
125 |
124 |
123 |
122 |
121 |
120 |
119 |
130 |
93 |
92 |
91 |
90 |
89 |
88 |
87 |
86 |
85 |
118 |
131 |
94 |
65 |
64 |
63 |
62 |
61 |
60 |
59 |
84 |
117 |
132 |
95 |
66 |
45 |
44 |
43 |
42 |
41 |
58 |
83 |
116 |
133 |
96 |
67 |
46 |
33 |
32 |
31 |
40 |
57 |
82 |
115 |
134 |
97 |
68 |
47 |
34 |
29 |
30 |
39 |
56 |
81 |
114 |
135 |
98 |
69 |
48 |
35 |
36 |
37 |
38 |
55 |
80 |
113 |
136 |
99 |
70 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
79 |
112 |
137 |
100 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
111 |
138 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
108 |
109 |
110 |
139 |
140 |
141 |
142 |
143 |
144 |
145 |
146 |
147 |
148 |
149 |
Знаходження залежності:
Випишемо ряд чисел 29 30 39 56 81
Знайдемо їхню різницю 1 9 17 25
Знайдемо другу різницю 8 8 8
З наведених вище міркувань справедливо записати наступну формулу для знаходження 3-го елемента послідовності (в даному випадку 39), маючи перші 2 елементи: аn+1--аn+8+аn+1=2*аn+1--аn+8, де аn+1, аn+2 – перший та другий елементи послідовності.
Отже отримаємо:
аn+2= 2*аn+1--аn+8
аn+3= 2*аn+2--аn+1+8, підставивши замість аn+2 верхню формулу отримаємо:
аn+3= 2*(2*аn+1--аn+8)--аn+1+8=4*аn+1--2*аn+2*8--аn+1+8=3*аn+1--2*аn+3*8
аn+4=2*аn+3--аn+2+8=2*(3*аn+1--2*аn+3*8)--(2*аn+1--аn+8)+8=4*аn+1--3*аn+6*8
аn+5= 2*аn+4--аn+3+8=2*(4*аn+1--3*аn+6*8)--(3*аn+1--2*аn+3*8)+8=5*аn+1--4*аn+10*8
Узагальнивши написане, отримаємо формулу:
аn= (n-1)*a2--(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1),
Де n – номер позиції елементу, який ми шукаємо,
a1 – перший елемент послідовності,
a2 – другий елемент послідовності.
За допомогою знайденої формули знайдемо кілька елементів заданої спіралі.
Знайдемо 6-ий нижній елемент головної діагоналі, який згідно спіралі дорівнює 149:
а6=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=5*37-4*29+8*(36/2-3*6/2+1)=185-116+80= 149
Знайдемо 5-ий верхній елемент головної діагоналі, який згідно спіралі дорівнює 93:
а5=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=4*33-3*29+8*(25/2-3*5/2+1)=132-87+48=93
Знайдемо 4-ий верхній елемент вертикалі, який згідно спіралі дорівнює 62:
а4=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=3*32-2*29+8*(16/2-12/2+1)=96-58+24=62
Знайдемо 6-ий елемент горизонталі, який знаходиться справа від центру спіралі і який дорівнює 114:
а6=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=5*30-4*29+8*(36/2-3*6/2+1)=150-116+80=114
Знайдемо 4-ий елемент діагоналі, який згідно спіралі дорівнює 71:
а4=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=3*35-2*29+8*(16/2-3*4/2+1)=105-58+24=71
Приклад №6