Хід роботи:
Побудувати k+ - спіраль, де k = 38.
-
138
137
136
135
134
133
132
131
130
129
128
139
102
101
100
99
98
97
96
95
94
127
140
103
74
73
72
71
70
69
68
93
126
141
104
75
54
53
52
51
50
67
92
125
142
105
76
55
42
41
40
49
66
91
124
143
106
77
56
43
38
39
48
65
90
123
144
107
78
57
44
45
46
47
64
89
122
145
108
79
58
59
60
61
62
63
88
121
146
109
80
81
82
83
84
85
86
87
120
147
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
Знаходження залежності:
Випишемо ряд чисел 38 39 48 65 90
Знайдемо їхню різницю 1 9 17 25
Знайдемо другу різницю 8 8 8
З наведених вище міркувань справедливо записати наступну формулу для знаходження 3-го елемента послідовності (в даному випадку 48), маючи перші 2 елементи: аn+1--аn+8+аn+1=2*аn+1--аn+8, де аn+1, аn+2 – перший та другий елементи послідовності.
Отже отримаємо:
аn+2= 2*аn+1--аn+8
аn+3= 2*аn+2--аn+1+8, підставивши замість аn+2 верхню формулу отримаємо:
аn+3= 2*(2*аn+1--аn+8)--аn+1+8=4*аn+1--2*аn+2*8--аn+1+8=3*аn+1--2*аn+3*8
аn+4=2*аn+3--аn+2+8=2*(3*аn+1--2*аn+3*8)--(2*аn+1--аn+8)+8=4*аn+1--3*аn+6*8
аn+5= 2*аn+4--аn+3+8=2*(4*аn+1--3*аn+6*8)--(3*аn+1--2*аn+3*8)+8=5*аn+1--4*аn+10*8
Узагальнивши написане, отримаємо формулу:
аn= (n-1)*a2--(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1),
де n – номер позиції елементу, який ми шукаємо,
a1 – перший елемент послідовності,
a2 – другий елемент послідовності.
За допомогою знайденої формули знайдемо кілька елементів заданої спіралі.
Знайдемо 6-ий нижній елемент головної діагоналі, який згідно спіралі дорівнює 158:
а6=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=5*46-4*38+8*(36/2-3*6/2+1)=
230-152+80= 158
Знайдемо 5-ий верхній елемент головної діагоналі, який згідно спіралі дорівнює 102:
а5=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=4*42-3*38+8*(25/2-3*5/2+1)=
168-114+48=102
Знайдемо 4-ий верхній елемент вертикалі, який згідно спіралі дорівнює 71:
а4=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=3*41-2*38+8*(16/2-12/2+1)=
123-76+24=71
Знайдемо 6-ий елемент горизонталі, який знаходиться справа від центру спіралі і який дорівнює 123:
а6=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=5*39-4*38+8*(36/2-3*6/2+1)=
195-152+80=123
Приклад №8