Практические занятия Практическое занятие № 1. Математическое ожидание, ковариация, дисперсия, корреляция

Случайная переменная – это любая переменная, значение которой не может быть точно предсказано. Дискретной называется случайная величина, имеющая определенный набор возможных значений (например, число выпавшее при бросании игральной кости).

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенное среднее всех ее возможных значений по генеральной совокупности, причем в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода.

Предположим, что случайная величина X может принимать n конкретных значений (х₁, х₂, …, х_n) и вероятность получения x_i равна p_i . Тогда математическое ожидание M(x) или μ_x

Свойства математического ожидания:

1) M(k) = k, где k – константа;

2) M(k•X) = k•M(X);

3) M(X ± Y) = M(X) ± M(Y);

4) M(X•Y) = M(X) • M(Y), где X и Y – независимые

случайные величины;

5) M(X ± k) = M(X) ± k;

6) M(X – μ_x) = 0, где μ_x = M(X).

Задание 1. 1) Определить M(y), где у = а + bx – x², а и b – константы.

Оценкой математического ожидания для выборки размера n является выборочное среднее значение

Ковариация является мерой взаимосвязи между двумя случайными величинами. Ковариация случайных величин Х и Y определяется как математическое ожидание произведения отклонения этих величин от своих математических ожиданий

Cov(X,Y) = M[(X – μ_x)(Y – μ_y)].

Свойства ковариации двух случайных величин:

1) Cov(X,Y) = 0, если X и Y независимы;

2) Cov(X,Y) = M(X•Y) – μ_x• μ_y;

3) |Cov(X,Y)| ≤ σ_xσ_y, где σ_xσ_y – средние квадратические

отклонения величин X и Y.

Выборочная ковариация (корреляционный момент):

Правила расчета ковариации:

1) если Y=V+W, то ;

2) если Y=kZ, где k – константа, то ;

3) если Y= k, где k – константа, то .

Задание 2. Допустим y = a + bz, где a и b – константы. Найти ковариацию между переменными величинами х и у.

Средним квадратическим отклонением (СКО, стандартным отклонением) σ_х случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Теоретическая дисперсия случайной величины Х – это мера разброса для ее вероятностного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной Х и ее средним значением по генеральной совокупности

Свойства дисперсии случайной величины:

1) D(k) = 0, где k – константа;

2) D(kX) = k²D(X);

3) D(X) = M(X²) - ;

4) D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(X,Y)

Оценкой дисперсии по выборке размера n является выборочная дисперсия

несмещенная состоятельная оценка генеральной дисперсии

Задание 3. Имеются данные по шести семьям (домохозяйствам):

Семья	Доход семьи (х)	Расходы на питание и одежду (у)	Расходы на питание (v)	Расходы на одежду (w)	Расходы на питание и одежду (вторая выборка) (z)
1	3000	1100	850	250	2200
2	2500	850	700	150	1700
3	4000	1200	950	250	2400
4	6000	1600	1150	450	3200
5	3300	1000	800	200	2000
6	4500	1300	950	350	2600

Определить ковариацию между величинами x и y, x и v,

x и w, x и z. Если каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, чему будет равна ковариация между х и числом взрослых в семье?

Задание 4. Допустим годовой доход индивида (у) определяется выражением:

y = 10000 + 500 s + 200 t.

Для выборки из пяти индивидов определить: 1) ковариацию между величинами х и у, х и s, х и t; 2) дисперсии величин у, s и t:

Индивид	Возраст (х), годы	Годы (s) обучения	Трудовой стаж (t)	Доход (у), ден. ед.
1	18	11	1	15700
2	29	14	6	18200
3	33	12	8	17600
4	35	16	10	20000
5	45	12	5	17000