4.2. Математические методы

За последние два десятилетия совокупное планирование получило в свое распоряжение большое число математических методов. Их диапазон применения — от моделей математического программирования до эвристических моделей и моделей компьютерного поиска. Этот раздел кратко описывает некоторые из наиболее известных методов.

4.2.1. Линейное программирование

Модели линейного программирования являются методами получения оптимальных решений задач по распределению ограниченных ресурсов с точки зрения минимизации затрат либо максимизации прибыли. Для совокупного планирования целью обычно является минимизация с расходов, относящихся к нормальному режиму работы, сверхурочным работам субподрядам, поддержанию запасов и изменению уровня рабочей силы. Ограничения включают производственные возможности рабочей силы, запасов и пользования субподрядов.

Э.Х. Боуман¹ предложил формулировать плановую проблему в виде модели, подобной транспортной модели программирования, как способ создания совокупных планов, балансирующих требования спроса с возможностями производства и минимизирующих затраты. Для использования этого подхода плановики должны оценить объем производства (предложение) при нормальном режиме работы, сверхурочных работах, субподрядах, а также уровень запасов на каждый период и соответствующие затраты на каждый показатель.

Структура транспортационной таблицы показана в табл. 2.

Таблица 2. Транспортационная таблица для совокупного планирования

Период 1

Период 2

Период 3

Период ...

Запасы на конец периода n

Неисполь-зуемая мощность

Производ-ственная мощность

Пери

Начальный

0

h

2h

...

nh

0

l0

од

уровень запасов

1

Нормальный

r

r+h

r+2h

...

r+nh

0

R1

режим

Сверхурочные

t

t+h

t+2h

...

t+nh

0

O1

Субподряд

s

s+h

s+2h

...

s+nh

0

S1

2

Нормальный

r+b

r

r+h

...

r+(n-1)h

0

R2

режим

Сверхурочные

t+b

t

t+h

...

t+(n-1)h

0

O2

Субподряд

s+b

s

s+h

...

s+(n-1)h

0

S2

3

Нормальный

r+2b

r+b

r

...

r+(n-2)h

0

R3

режим

Сверхурочные

t+2b

t+b

t

...

t+(n-2)h

0

O3

Субподряд

s+2b

s+b

s

...

s+(n-2)h

0

S3

Спрос

Итого:

Обозначения: r — стоимость производства единицы продукции; t — стоимость производства единицы при сверхурочных работах; s — стоимость субподряда на единицу продукции; h — затраты на хранение единицы в течение определенного периода; b — стоимость задержки заказов на единицу в течение определенного периода; n — число периодов в перспективе планирования.

Обратите внимание на систематический характер изменения затрат при продвижении по строке слева направо. Стоимость производства при нормальном режиме работы, сверхурочных работах, субподрядах является наименьшей в том случае, когда потребление (поставка, распределение и т.п.) продукции совпадает с периодом выпуска (пересече-ние столбца периода и строки регулярных производственных расходов). Если продукция может производиться в один период, но переносится на последующие периоды (движение по строке вправо), то добавляются затраты на хранение (h) за каждый период. Так, хранение продукции в течение двух периодов добавляет к затратам единицу 2h, — независимо от того, была ли продукция выпущена при нормальном режиме работы, сверхурочно или по субподряду. В случае переноса заказов на будущие периоды, затраты возрастают при движении по строке справа налево, начинаясь пересечении строки и столбца одного периода (например периода 3). Например, и некоторые товары были произведены в периоде 3 для выполнения задержанных заказов периода 2, то добавляются затраты на перенесение заказа (b). Если товары периода 3 предназначаются для выполнения заказов двух предыдущих периодов, то добавляются издержки 2b. Свободные мощности, как правило, добавляют к стоимости единицы продукции 0, хотя возможно ввести конкретные значения, если это необходимо. Наконец, начальным запасам добавляется стоимость 0, если они используются для удовлетворения спроса в периоде 1. Тем не менее, если запасы поддерживаются в последующих периодах, то добавляются затраты хранения (h) на каждый период. Если запасы поддерживаются на протяжении всего планового периода, то добавляется общая стоимость хранения h, умноженная на число периодов n.

Пример 4 иллюстрирует структуру и конечное решение транспортной модели для проблемы совокупного планирования. Если задержка заказов недопустима, показатели затрат в соответствующих ячейках должны быть настолько высоки, чтобы не допустить появления в решении невыполненных заказов.

Основные ограничения моделей линейного программирования — необходимость линейной зависимости между переменными, невозможность постоянного регулирования объема выпуска и необходимость выбора единственной цели (например, минимизации затрат), вместо использования множественных целей (например, минимизация затрат при стабильном уровне рабочей силы).

П РИМЕР 4

Располагая следующей информацией, представьте проблему в виде транспортационной таблицы и решите задачу минимизации затрат на осуществление плана.

	Период
	1	2	3
Спрос	550	700	750
Возможности производства:
нормальный режим	500	500	500
сверхурочные	50	50	50
субподряды	120	120	120
Начальный уровень запасов	100
Расходы:
нормальный режим	60 $ за единицу продукции
сверхурочные	80 $ за единицу
субподряды	90 $ за единицу
стоимость хранения запаса	1 $ за единицу в месяц
задержка заказов	3 $ за единицу в месяц

Решение:

Транспортационная таблица и решение показаны в табл. 3. Некоторые входные данные требуют пояснений.

1. В данном примере, затраты на поддержание запасов составляют 1$ на единицу продукции в течение определенного периода (затраты указываются в правом верхнем углу каждой ячейки таблицы). Следовательно, продукция, произведенная в один период и перенесенная в последующий, имеет стоимость хранения, которая является линейной функцией от времени хранения.

1. М одели линейного программирования подобного типа требуют равенства предложения (объема производства) и спроса. Для этого в таблицу добавлена фиктивная колонка «Неиспользованные мощности». Так как «не использование» мощностей не требует затрат, то показатели затрат в данных ячейках равны 0$.

1. В данном примере не используются задержанные заказы.

1. Показатели (например,100 и 450 в колонке 1) являются объемами выпуска и запасов, которые будут использованы для удовлетворения спроса. Так, спрос на 550 единиц 1 периода будет погашен за счет 450 единиц, изготовленных в нормальном режиме работы, и 100 единиц из запасов.

Таблица 3. Транспортационная таблица решения

		Время спроса								Общая
Источник продукции		Период 1		Период 2		Период 3		Неиспользован-ные мощности (фикт. колонка)		производ-ственная мощность
Период	Начальный уро-		0		1		2		0
	вень запасов	100								100
1	Нормальный		60		61		62		0
	режим	450		50						500
	Сверхурочные		80		81		82		0
				50						50
	Субподряды		90		91		92		0
				30				90		120
2	Нормальный		63		60		61		0
	режим			500						500
	Сверхурочные		83		80		81		0
				50						50
	Субподряды		93		90		91		0
				20		100				120
3	Нормальный		66		63		60		0
	режим					500				500
	Сверхурочные		86		83		80		0
						50				50
	Субподряды		96		93		90		0
						100				100
Спрос		550		700		750		90		2090

Правило линейного решения — метод оптимизации с целью минимизации общих производственных расходов с использованием функций приближения затрат и получения единого квадратного уравнения.

4.2.2. Правило линейного решения

Другой метод оптимизации, правило линейного решения, был разработан в 50-е годы Чарльзом Холтом (Charles Holt), Франко Моди-льани (Franco Modilliani), Джоном Матом (John Marth) и Гербертом Саймоном (Gerbert Simon). Его задачей является минимизация общих производственных расходов на заработную плату, найм и увольнение, сверхурочные работы и поддержание запасов с использованием совокупности функций приближения затрат, три из которых являются квадратичными — чтобы получить единое квадратное уравнение. Решив его, можно получить два линейных уравнения (отсюда и название — правило линейного решения). Одно из этих уравнений можно использовать для планирования выпуска на каждый плановый период, а другое — для планирования рабочей силы в каждый период.

Хотя эта модель находит некоторое практическое применение, прежде всего она служит эталоном, с помощью которого оцениваются другие предлагаемые методы. Практическое использование данной модели ограничивают три фактора:

1. Устанавливается определенный вид функции затрат.

2. Требуются значительные усилия по сбору данных по расходам и разработке функций затрат для каждой организации.

3. Метод допускает решения, которые являются невыполнимыми либо непрактичными.