§5.3. Время релаксации и длина свободного пробега

Выясним теперь физический смысл коэффициента .

Предположим, что, после того как скорость направленного движе­ния электронов достигла стационарного значения v_Д, поле Е вы­ключено. Вследствие столкновений электронов с дефектами решетки эта скорость начнет уменьшаться, и электронный газ будет переходить в равновесное состояние. Такие процессы установления равновесия в системе, ранее выведенной из этого состояния, называют релаксацией. Полагая в (5.3) qЕ=0, получим уравнение, описывающее переход электронного газа в равновесное состояние — процесс его релаксации:

(5.6)

Интегрируя (5.6), находим

(5.7)

где v_Д(t) - скорость направленного движения электронов по исте­чении времени t после выключения поля.

Из уравнения (5.7) следует, что τ характеризует скорость установ­ления в системе равновесного состояния: чем меньше τ, тем быстрее возбужденная система приходит в равновесие. За время t = τ скорость направленного движения электронов уменьшается в е = 2,7 раза. Время τ называется временем релаксации. Для чистых металлов τ≈10^-10 с.

Движение электронов в кристалле удобно описывать, используя понятие длины свободного пробега. По аналогии с кинетической теорией газов можно считать, что электрон движется в кристалле прямолинейно до тех пор, пока не встретится с дефектом решетки и не рассеется. Средний отрезок пути λ, который проходит электрон между двумя последовательными актами рассеяния, принимается за длину свободного пробега электрона.

Если бы электрон уже в единичном акте рассеяния полностью терял скорость в данном направлении и возвращался в первоначальное состояние хаотического движения, то средняя длина свободного пробега равнялась бы просто произведению средней скорости движения электронов v на время релаксации τ, которое в этом случае представляло бы собой просто время свободного движения электрона:

λ=v·τ (5.8)

Часто, однако, для полного уничтожения скорости в данном направлении требуется не одно, а в среднем υ столкновений с рассеивающими центрами. Только после υ столкновений исчезает всякая корреляция между начальной и конечной скоростями движения электронов. Время, в течение которого будет происходить рассасывание направленного движения электронов, и в этом случае представляет собой время релаксации. Но средний путь, который пройдет электрон за это время, равен уже не λ, а

L=λ·υ=v·τ (5.9J

Величину L называют средней транспортной длиной свободного пробега.

Из (5.9) следует, что

τ=υλ/v. (5.10)

Тот факт, что под действием электрического поля Е в проводнике возникает дрейф свободных носителей заряда, приводящий к появлению электрического тока, свидетельствует о том, что поле Е изменяет характер распределения свободных электронов по состояниям, т. е. вид функции распределения f(E), так как равновесная функция распределения f₀(Е) не может привести к появлению тока. На рис. 5.1, а, б пунктиром показаны графики функций распределения для электронов после установления постоянной скорости дрейфа. Из рис. 5.1 видно, что влияние внешнего поля E на функцию распределения электронов по состояниям сводится к смещению всего распределения на величину v_Д=qEτ/m_n в направлении, противоположном E. Вследствие такого смещения функции распределения перестают быть симметричными относительно оси ординат, и средняя скорость движения электронов в направлении оси х уже не будет равна нулю, как в отсутствие поля Е. Легко показать, что средняя скорость в этом случае будет равна скорости дрейфа v_Д.