2.7. Теплопередача оребренных поверхностей

Для увеличения площади поверхности, с которой передается тепло от горячей системы к окружающей среде, широко используются шипы и ребра. Обычно их применяют для интенсификации охлаждения, од­нако они могут быть использованы и для нагревания системы. Тепло­обмен в таких системах происходит за счет теплопроводности в твердом теле и конвекции в примыкающем к поверхности слое теплоносителя. При этом предполагается, что доля тепла, передаваемого излучением, незначительна. Тогда уравнение теплового баланса принимает вид

где А5 — площадь элементарного участка поверхности ребра (или шипа) на малой длине ребра Ах. Периметр определяется как Р = = ДЗ/Дх.

В табл. 2.3 приведены параметры теплопередачи некоторых обще­известных типов оребренных поверхностей.

2.8. Нестационарные процессы теплопередачи

Под нестационарными условиями понимают изменение во времени распределения температуры тела. Особенности протекания этих про­цессов на границах тела определяются начальными и граничными условиями.

Для любой задачи нагрева и охлаждения тела процесс передачи тепла от этого тела к окружающей среде зависит от внутреннего

г = (С_х 51П & + С₂ соз (С#Ь> + е-«*),

(2.16)

(2.17)

21

Таблица 2.1

Распределение температуры и тепловой поток в пластине, цилиндре и полой сфере Формула:

аЧ ё(

<3=—'кР-или Ч=*—ХР- Вт;

йх йг

X = <2/У_г — *_х) Вт/°С.

Обозначения: (_г, (_х — температура горячей и холодной поверхно­сти соответственно, °С.

проводящее тело

схематическое представ­ление

распределение температуры

параметр теплопере­дачи Ж

- x

а

Длина цилиндра I

1п (г—г ₂) 1п (п—г₂)

1/г-1/п 1/г1-1/г₂

с!

2яМ

1п (г₂/г,)

4лХ

Чгх-Цг_я

Таблица 2.2

№ п.п.	Система	Схема						Параметр теплопередачи УС, Вт/°С
1	Плоская стенка	а.				а	а
	1

Параметр теплопередачи различных систем прн стационарных режимах Параметр теплопередачи УС, Вт/°С, определяется нз выражения

(} = -%Р -^-Ж(1_Г—{_Т) Вт, йх

где X — коэффициент теплопроводности, Вт/(м > °С); Р — площадь поверхности, перпендикулярной к направлению распрост­ранения теплового потока, м^а; /_г, г_х — температура жидкости на границе горячей и холодной зон .соответственно, С; а — коэффициент теплоотдачи между жидкостью н поверхностью твердого тела, Вт/(м^а • °С). Величина, обратная УС, есть термическое сопротивление Я- Во всех случаях длина тела принята равной Ь.

Продолжение табл. 2.2

Система

Схема

Параметр теплопередачи УС, Вт/°С

Труба в теле прямоугольной фор­мы

	1
ив	ж	ь
	а

-для —=1, / = 0,539

~1п(/о/г) 6

а/5 = 1,5, / = 0,614

а/6 = 2. / = 0,632

а/6 = 2,5 / = 0,635

а/Ь>2,5, / = 0,637

Труба квадратной формы

6,791 IX

1п(а/6)— 0,054

для а/й>1,7

Труба в теле пятиугольной формы

2л1Х

, /0,724 а\

Продолжение табл. 2.2

Л» п. п.

Система

Схема

Параметр теплопередачи УС, Вт/°С

17

Круглый диск в твердом теле

4гК, ё=0; 8гК,

18

Прямоугольная пластина в твердом теле

2лЬХ 1п (46/а) 2лЬХ

4>Ь , i а>2а

1п (2л<*/а) ' * 6»а пЫ/1п (4Ь/а), ё = 0

19

Торонд в твердом теле

4я

^:да/1п[8 ~

Я ( 1п (4Я/4)

11п(8Л/г)

для К<Ж<Я; 4л²ЛЯ/1п(8Л/г: для 4>Я

со

51

Таблица 2.3

Распределение температуры и тепловой поток для различных оребреииых поверхностей

Основные допущения: температура оребреииых поверхностей принимается постоянной и равной (₀\ тепло рассеивается в окружающую среду с температурой <_ж за счет конвекции с постоянным коэффициентом теплоотдачи а.

Обозначения:

Г — площадь поперечного сечения стержня, м^а; а — базовая длина охлаждаемой поверхности, м; Ь — базовая высота охлаждаемой поверхности, м; ЗС — параметр теплопередачи, Вт/°С; /—длина оребреиион поверхности, м; Р — периметр (или длина окружности) круглого стержня, м;

а — коэффициент теплоотдачи, Вт/ (м^а-°С); а_е — коэффициент теплоотдачи на торце стержня, Вт/ (м^а.°С);

% — <2 -

I — сЬ у = зп у = 'од-

Яо,1 —

теплопроводиоети Вт:

материала.

коэффициент Вт/ (м.° С);

тепловой поток с поверхности, распределение температуры, °С;

(е»+ е-*)/2; (е» - е-») /2;

модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого и первого порядков;

модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого и первого порядков.

№ п. п.

Система

Схематическое представление

Распределение температуры

Параметр теплопередачи

Ребро прямо­угольной формы нли стержень по­стоянного попе­речного сечения

{_ж,сс

ММ

МП

Г=аЬ, Р=2а+2Ъ

ос,

сЬ_М + (^)зЬ,/ Ра \1/2

где ц--

П сп р, (/—х) сЬ и7

для а_е = 0

ХРц сЬц/+(-^-)5Пц/

для а_в<=0

кР\11п р./

Ребро клиновид­ной формы

Кольцевое ребро прямоугольной формы

КаЬ[11₁(2цУ I )

/2о\1/2

где

(2лг1ЙХ,ц) X

_>Т/1(^г.)К1(цг₁)-К'1(цг.)/₁(цг₁)-[ [Л(И-г₂)/С₀(цг₁)+К1(цг.)/₀(цг1)]

термического сопротивления К₃ — ЫХР и от термического сопротив­ления на поверхности К_ж = 1/аР.

Предельными являются два случая: 1) нулевое внутреннее сопро­тивление (при К-*- ею) и 2) нулевое сопротивление на поверхности (при о-*- со). Все другие варианты находятся между этими край­ними случаями и имеют конечные значения величин Я и а. Рассмот­рим предельные случаи отдельно.

Тела с неограниченно высокой теплопроводностью. Простейшим примером случая нулевого внутреннего сопротивления является процесс передачи тепла в теле с неограниченно высокой теплопровод­ностью (т. е. с незначительным внутренним термическим сопротив­лением), температура которого резко изменяется при контакте с теп­лоносителем. Обычно предполагается, что температура теплоносителя /_ж — величина постоянная. Следовательно, все полученное (или генерированное) тепло мгновенно распространяется в материале и тем­пература тела увеличивается равномерно по всему объему. Решения могут быть получены с хорошим приближением, если тело, о котором идет речь, имеет относительно своего объема большую площадь по­верхности. Всем этим условиям удовлетворяют такие тела, как тон­костенные трубы и сферы и тонкие пластины, выполненные из материа­ла с высокой теплопроводностью. Определяющим уравнением явля­ется соотношение баланса тепла, т. е. количество тепла, полученного телом, равно количеству тепла, переданного теплоносителем:

Если при х = 0 начальная температура небольшого тела равна I — /₀, то решение для него можно записать в виде

Параметр рсУ/аР представляет собой постоянную времени, которая характеризует степень реакции тела на изменение температуры.

В табл. 2.4 приведены соотношения для определения распреде­ления температуры в телах с низким внутренним термическим сопро­тивленцем.

Тела с низким внешним термическим сопротивлением. В большин­стве случаев, которые могут быть отнесены к этой категории, внутрен­нее термическое сопротивление взаимодействующих тел значительно больше внешнего. При этом можно считать,, что существует такая неограниченно высокая интенсивность конвективного теплообмена, что мгновенно после начала нагревания или охлаждения первоначаль­ная температура поверхности тела скачкообразно изменяется до по­стоянно поддерживаемой температуры окружающей среды /_ж. Опре-ляющее дифференциальное уравнение имеет вид

рсУ-7- = а/Ч'_ж-0.

(2.18)

— ехр[—(аР/рсУ) х].

(2.19)

(2.20)

31

Таблица 2.4

в в* •<	Система	Распределение температуры 'о-'ж
1	Бесконечная пластина толщиной б	ехр [—(2 а/брс) т]
2	Бесконечный цнлнидр радиусом г __________ш	е*Р I-(2 а/грс) т]
3	Сфера радиусом г	___. ехр [—(3 а) где) х]
4	Короткий цилиндр высотой, равной удвоенному радиусу г	ехр I—(3 а/грс) т]
5	Неограниченный квадратный стер­жень со стороной квадрата а	ехр [—(4 а/арс) т]
6	Куб со стороной а	ехр [— (6 а/арс) х]
7	Тонкостенная труба с толщиной стенкн б, к внутренней поверхности которой подводится тепло, а темпе­ратура теплоносителя снаружи остается постоянной и равной {0. Теп­лообмен осуществляется с обеих по­верхностей трубы: 1 '	а" + а1 X Хсхр {—[К+аг)/брс] т)

Соотношения для определения распределения температур

в простых телах с низким внутренним термическим сопротивлением (А,~»со)

Обозначения: т. — время, с;

-о — начальная температура тела при т. = О, °С; .,„ — постоянное значение температуры теплоносителя, °С;

i — изменяющаяся во времени температура Тела, °С; а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м² • С);

с — удельная теплоемкость материала, Дж/(кг . °С);

р — плотность материала, кг/м³; Р — площадь поверхности, м^а;

а — размер стороны, м;

В — постоянная величина, "С/с;

б — толщина, м;

г — радиус, м;

V — объем материала, м³.

Продолжение табл. 2.4

в в %	Система	Распределение температуры '• —'ж
8	Тонкая пластина, погруженная в жидкость, температура которой из­меняется линейно во времени, т. е.	+ (<о-'жо + рЛ'В/а/>)х X ехр \—{аР/рсУ) т]

Для одномерного теплового потока уравнение (2.20) может быть приведено к следующему виду:

1 64 дЧ *

--=--в декартовых координатах;

а 64 дх²

1 д( дЧ , 1 д(

а 6т 6г² г дг

в цилиндрических координатах;

16/ дЧ , 2 д{ ,

— — = ^ _а Н-----в сферических координатах.

(2.21)

Для получения аналитического решения обычно используют принцип суперпозиции. Его реализация возможна, когда граничные условия и определяющее дифференциальное уравнение линейны относительно температуры и тепловые свойства А, р и с не зависят от температуры.

В табл. 2.5 представлены соотношения для определения распреде­ления температуры и теплового потока на поверхности четырех систем простой геометрии.

Тела с конечными значениями теплопроводности и конвективной теплоотдачи на поверхности. В большинстве практических задач нагревания и охлаждения теплопроводность материала и коэффициент конвективной теплоотдачи имеют конечные значения, что и предопре­деляет необходимость рассмотрения и анализа влияния внутреннего и внешнего сопротивления на теплообмен. Определяющее дифферен­циальное уравнение в частных производных аналогично уравнениям (2.20), но граничное условие конвективной теплоотдачи требует, что­бы

для всех значений т > 0. Простейшими примерами этих случаев являются системы с одномерным тепловым потоком, для которых температура окружающей среды может быть принята постоянной. В табл. 2.6 приведены соотношения, характеризующие теплоотдачу с поверхности и распределение температуры для четырех различных си­стем этого типа. Аналитические решения уравнений переходных режи­мов теплообмена — задача крайне трудоемкая. Явное преимущество при решении задач этого типа дает применение техники интегральных

33

преобразований, хотя при этом могут потребоваться определенные знания высшей математики. Большое число аналитических решений приведено в работах [2.1—2.8], а в [2.9—2.17] даны сведения о мате­матических методах и таблицы с функциями. Могут быть также по­лезны различные численные и аналоговые методы. Их описание при­ведено в работах [2.19—2.28].