2.5. Вимірювання тісноти зв'язку між факторним і результативним ознаками

Тіснота зв'язку між факторним і результативним ознаками відображає ступінь впливу варіації факторної ознаки х на варіацію результативного у. Для генеральної сукупності вимірником тісноти зв'язку являєтся індекс кореляції . Для вибіркової сукупності тіснота зв'язку може бути оцінена вибірковим індексом кореляції , який називається кореляційним відношенням.

Повна дисперсія результативної ознаки == М [Y - М (Y)]² утворюється під впливом двох груп факторів. Перша група - факторниx ознака X, вариація якого викликає зміна ознаки Y у відношенні з функцією регресії . Друга група - інші фактори, вплив яких викликає варіацію результативної ознаки щодо умовного мате-автоматично очікування М {У/X = х)= . (рис. 5). Рис. 5. Розкладання варіації Y на складові.

Розглянемо відхилення точки з генеральної сукупностіності (відміченої на рисункe хрестиком) від математитичного сподівання М (Y). Воно складається з:v₁ - варіації, викликаної зміною факторного ознаки в порівнянні з математичним сподіванням М (X); v₂- варіації, обумовлюються

впливом інших складових факторів, не розглядуються в даній моделі. Очевидно, чим менше вплив інших факторів, тим тісніше зв'язок між результативною ознакою Y і факторним X.

Як відомо, повну дисперсію можна розкласти на два доданки

= М [М (У / Х = х) – (М (У)) ² + М [У-М (У/X = х)] ².

Перший доданок (позначимо його ) являє собою дисперсію функції щодо математичного очікування результативної ознаки; ця дисперсія обумовлена впливом першої групи факторів - ознаки X. Другий доданок - дисперсія результативної ознаки щодо функції регресії, обумовлена ​​впливом інших факторів; ця дисперсія називається залишковою і позначається . Таким чином,

= + (2.24)

Тісноту зв'язку оцінимо в частках повної дисперсії: . Ця величина називається теоретичним коефіцієнтом детермінації. Оскільки то очевид но виконання нерівності 0 ≤ 1.

Припустимо, варіація факторного ознаки X не впливає на результативну ознаку У. Отже, графік функції регресії являє собою лінію, паралельну осі X (рис. 6, а) і = 0. У цьому випадку теоретичний коефіцієнт детермінації = 0, що свідчить про відсутність зв'язку між факторним і результативним ознаками.

Припустимо, варіація ознаки У обумовлена ​​тільки впливом фактора X; друга група чинників не викликає варіації

 

Рис. 6. Інтерпретація граничних значень теоретичного коефіцієнта детермінації

У (рис. 6, б). В цьому випадку залишкова дисперсія ( = 0 і з рівності (2.24) випливає, що = 1. Всі точки генеральної сукупності зосереджені на лінії функції регресії, отже, між У і X існує функціональна залежність.

У тому випадку, коли істотно вплив як фактора X, так і інших чинників, теоретичний коефіцієнт детермінації приймає значення в інтервалі 0 < 1. Чим більше вплив фактора X на варіацію У, тим ближче до одиниці.

Таким чином, тісноту зв'язку між факторним і результативними ознаками можна визначити за допомогою теоретичного коефіцієнта детермінації. Припустимо, яким способом встановлено чисельне значення = 0,8. Це означає, що 80% варіації результативного знака обумовлено впливом факторного ознаки X, а інші 20% - впливом неврахованих факторів.

Індекс кореляції дорівнює квадратному кореню з теоретичного коефіцієнта-детермінації!

За аналогією з генеральною сукупністю введемо в розгляд коефіцієнт детермінації для вибірки. Повна вибіркова дисперсія результативної ознаки дисперсія y , обумовлена ​​впливом фактора х, . коефіцієнт детермінації для вибірки визначимо за формулою

Показник η² є вимірником тісноти зв'язку факторного і результативного ознак для вибірки. Якщо = 0, то зв'язок між ознаками х та у відсутнє; якщо = 1, то зв'язок між х і у функціональна; при виконанні співвідношення 0 < <1 варіація у обумовлена як фактором х, так і іншими факторами, не врахованими в даній регресійній моделі. Чим ближче коефіцієнт детермінації до одиниці, тим більше тіснота зв'язку між х і у. Як правило, якщо 0,1, то тісноту зв'язку вважають слабкою, при 0,1 < 0,4 - середньої; при > 0,4 ​​- сильною і залежність результативного признака у від фактора х суттєвою.

Кореляційне відношення дорівнює квадратному кореню з коефіцієнта детермінації

Приклад. Оцінимо тісноту зв'язку між продуктивністю праці робітників і собівартістю вугілля при умовах, наведених у прикладі попереднього розділу. Розрахунки, необхідні для визначення коефіцієнта детермінації, зведені в табл. 2.12.

Вибірковий коефіцієнт детермінації

Таблиця 2.12

Відповідно до градацією коефіцієнтів детермінації тіснота зв'язку сильна; 87,1% варіації собівартості вугілля обумовлено вартістю продуктивності праці, вплив інших факторів незначний і становить 12,9%.

Кореляційне відношення дорівнює = 0,933.