2.3 Естественный способ задания движения точки

2.3.1 Определения

    При естественном способе задания движения точки задаются траектория и закон движения точки по траектории как функция времени – S=S(t) . Задание траектории осуществляется различными способами: уравнениями, в виде графика и т.д.     Примером естественного способа задания движения является расписание поездов.

    Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на заданной траектории точку O , принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 2.5) . Расстояния в одну сторону от точки O по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую сторону – отрицательными. Обычно за t = 0 принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку O .

    Таким образом

чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: траекторию точки; начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направления; закон движения точки вдоль траектории в виде S=S(t).

    От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовые координаты выражаются в виде      и после интегрирования – в конечной форме

(2.7)

если     

2.3.2 Оси естественного трехгранника

    Построим в точке M кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 2.6) . Первой естественной осью является касательная . Ее положительное направление в сторону возрастающих расстояний. В другой близкой точке кривой , отстоящей от точки M на расстоянии S, построим касательную ( и будут скрещиваться). Проведем в точке M прямую , параллельную . Угол между этими линиями называется углом смежности. Кривизной кривой K в точке M называют предел

(2.8)

    Радиусом кривизны кривой в точке M называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке

(2.9)

   

 Вычислим, например, радиус кривизны окружности радиусом R (рис. 2.7) . Дуга окружности длиной S , опирающаяся на центральный угол φ выражается зависимостью S=Rφ . Для радиуса кривизны имеем:      .     Проведем плоскость через две пересекающиеся прямые и .     Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки с точкой M называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке M . В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость.

    Построим в точке M кривой линии оси естественного трехгранника. Первой осью является касательная (рис. 2.8) , или . Перпендикулярно касательной располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью Mn , или . Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим ось . Она определяет положительное направление второй естественной оси.

    Прямая, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью Mb , или . Ось, направленная по бинормали так, чтобы три вектора образовывали правую систему осей координат, определит направление третьей естественной оси . Плоскость, проходящая через , называется спрямляющей.

    Три взаимно перпендикулярные оси , , – образуют оси естественного трехгранника.