3.4.2 Частные случаи вращения твердого тела

    Вращение называется равномерным, если . Алгебраическая угловая скорость отличается от модуля скорости только знаком. Поэтому она тоже постоянна и при интегрировании ее можно вынести за знак интеграла. Имеем      .     Если принять при .     Вращение будет равнопеременным, если . Алгебраическое ускорение при этом тоже постоянно.     При интегрировании имеем      , если при .     Далее:           .     Если при .     В общем случае, если не постоянно      .

3.4.3 Скорости и ускорения точек твердого тела

    Рассмотрим поведение точки, лежащей на плоскости, перпендикулярной оси вращения. Известно уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. 3.4) . Расстояние S точки M в подвижной плоскости по дуге окружности (траектории точки), отсчитываемое от точки , расположенной в неподвижной плоскости, выражается через угол зависимостью , где – радиус окружности, по которой перемещается точка. Он является кратчайшим расстоянием от точки M до оси вращения.     Его называют радиусом вращения точки. Алгебраическую скорость точки M определяем по формуле

(3.5)

Скорость точки тела при вращении ее вокруг неподвижной оси пропорциональна кратчайшему расстоянию до этой оси.

Коэффициентом пропорциональности является угловая скорость. Скорость точки направлена по касательной к траектории и, следовательно, перпендикулярна прямой, соединяющей точку с центром вращения.     Скорости точек, расположенных на отрезке прямой OM , распределены по линейному закону. Они взаимно параллельны и их концы располагаются на одной прямой, проходящей через ось вращения (рис. 3.4) .

    Ускорение точки разлагаем на касательную и нормальную составляющие (рис. 3.5)      .     Касательное и нормальное ускорения вычисляют по формулам

,

(3.6)

т.к. для окружности радиус кривизны . Таким образом

.

(3.7)

    Направление касательного ускорения зависит от знака алгебраического углового ускорения. При и или и направления векторов и совпадают. Если и имеют разные знаки, то и направлены противоположно друг другу.     Обозначим угол между полным ускорением точки и ее радиусом вращения, имеем

.

(3.8)

так как нормальное ускорение всегда положительно. Угол для всех точек тела один и тот же. Откладывать его следует от ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления вращения твердого тела (рис. 3.5) .

3.5 Преобразование простейших движений

    Под преобразованием простейших движений следует понимать:

• преобразование вращательного движения в поступательное (и обратное преобразование);

• преобразования вокруг одной неподвижной оси во вращение вокруг другой неподвижной оси;

• преобразование одного поступательного движения в другое поступательное движение.

• 

    Преобразование вращения одного твердого тела вокруг неподвижной оси во вращение второго твердого тела вокруг другой неподвижной оси осуществляется посредством зубчатого или фрикционного (за счет сил трения) зацепление двух колес (рис. 3.6 а),

,(рис. 3.6 б) или при помощи ременной передачи (рис. 3.6 в) ,

(рис. 3.6 г) .

    При внутреннем зацеплении (рис. 3.6 б) и нескрещивающейся ременной передаче (рис. 3.6 в) направления вращений обоих колес совпадают, при внешнем зацеплении (рис. 3.6 а) и скрещивающейся ременной передаче (рис. 3.6 г) направление вращения колес противоположно. Модули скоростей на ободе колес, находящихся в зацеплении, равны. Также равны по модулю скорости на ободе шкивов ременной передачи, если нет скольжения ремня по шкиву. Угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов ( ) или радиусам ( ), или диаметрам ( )

.

(3.9)

    В этой формуле , – модули угловых скоростей; , – радиусы окружностей; , – диаметры окружностей; , – числа зубцов первого и второго колеса.

    Часто применяется соединение колес, когда два колеса вращаются вокруг одной неподвижной оси. Если при этом они жестко соединены друг с другом, то их угловые скорости равны ((рис. 3.6 в) – второе колесо).

Пример 1. Для спуска груза 4 диск 1 вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр O , перпендикулярно плоскости диска, по закону (рис. 3.7 а) и приводит во вращение диски 2 и 3 , имеющие общую неподвижную ось вращения и жестко скрепленные друг с другом. Определить скорость и ускорение, с которой спускается груз 4 , ускорение в точке A в момент времени t = 5 c , если = 0.2 м, = 0.4 м , = 0.3 м.     Решение     Определим алгебраическую угловую скорость и угловое ускорение диска 1 . Имеем      .     В момент времени t = 5с соответственно      ,      .     В этот момент времени дуговые стрелки для и следует направить в сторону, противоположную положительному направлению угла , так как алгебраические угловая скорость и угловое ускорение оказались отрицательными (рис. 3.7 а) .      Свяжем перемещение 4-го груза с углом поворота (рис. 3.7 а) . Перемещение точек соприкосновения дисков 1 и 2-го при отсутствии скольжения между ними одинаковы. Поэтому      .     Перемещение точек соприкосновения на диске 3 и тела 4 одинаковы:      .      Тогда, скорость груза (рис. 3.7 б)      .     Определим нормальное ускорение точки A диска 2      .     Определим касательное ускорение точки A диска 2      .     Касательное ускорение направлено по дуговой стрелке. Полное ускорение точки A      .