2. Дополнение 2 (к главе 1, §2, пункт 3 ).

§2. Естественный способ задания движения точки

3º. Описание естественного способа задания движения

В этом Дополнении 2 к §2 дается описание алгоритма перехода от векторного способа задания движения к заданию движения естественным способом.

Пусть движение материальной точки задается векторным способом

, . (1.2.8)

Будем смотреть на соотношение (1.2.8)

, . (1.2.8)

как на векторное задание кривой в абсолютном пространстве.

В нем является параметром, принимающим значения из промежутка , а вектор-функция – параметризацией кривой.

По определению, данная кривая является траекторией движения.

Однако ее параметризация не является естественной.

При естественном способе задания движения требуется, чтобы траектория задавалась в естественной параметризации .

Ясно, что алгоритм перехода от векторного способа задания движения к естественному способу должен содержать описание действий, направленных на построение естественной параметризации .

Чтобы определить функцию  , достаточно найти связь между длиной дуги траектории и временем .

Если такая связь будет найдена, то, заменив в правой части равенства (1.2.8) аргумент на , получим естественную параметризацию  .

Зависимость может быть найдена из закона движения

как обратная функция по отношению к нему.

Этот закон , также как и естественная параметризация траектории, должен быть известен при естественном способе задания движения.

А потому задача перехода от векторного способа к естественному будет решена, если укажем алгоритм построения по вектор-функции .

Поставленную задачу будем решать при следующем ограничении на движение (только при его выполнении возможен переход к естественному способу):

• траектория, определяемая заданием (1.2.8),

, , (1.2.8)

является регулярной кривой второй кратности и без особых точек.

Установим вид функции , соответствующей движению . Для этого выполним следующие операции:

• находим , используя формулу для дифференциала дуги

.

С этой целью фиксируем и интегрируем данное соотношение в пределах от до .

В результате получим искомую функцию  :

, . (1.2.9)

Очевидно, является неубывающей, так как под интегралом стоит неотрицательная функция ;

• находим обратную функцию к функции , задаваемой формулой (1.2.9),

. (1.2.10)

Такая функция существует, по крайней мере, для всех , при которых , т.е. при тех , где строго монотонно возрастает;

• подставим (1.2.10) в (1.2.8):

, . (1.2.8)

Тогда в совокупности с (1.2.9):

, (1.2.9)

будем иметь

, .

Таким образом, приходим к естественному способу задания движения.

Замечание 1

В формуле (1.2.9) обозначает длину дуги траектории, ограниченной точкой отсчета длин дуг и положением на траектории материальной точки в момент  . Если в качестве точки отсчета длин дуг взять положение , то в ней будем иметь .

Замечание 2

Если в формуле (1.2.9) окажется, что при каких-то значениях  , то подбираем новую параметризацию , в которой параметр связан со временем соотношением

, (1.2.11)

допускающим однозначное и дважды непрерывно дифференцируемое обращение .

Основное требование к указанной параметризации следующее:

-вектор-функция , определяемая по формуле

(1.2.12)

должна иметь значение

при .

Поскольку траектория движения является регулярной кривой без особых точек, то такая параметризация существует.

Данное утверждение следует из того, что для регулярных кривых без особых точек всегда существует естественная параметризация . А в естественной параметризации при всех значениях длины дуги выполняется равенство

.

После построения параметризации траектория с учетом соотношения (1.2.12) будет задаваться равенством

(1.2.13)

А тогда функцию находим путем обращения функции , где имеет следующую зависимость от функции  :

. (1.2.14)

Соотношение (1.2.14) выводится по той же схеме, по которой получено (1.2.9):

, (1.2.9)

Это делается путем замены на .

Так как функция  , определяемая по формуле (1.2.14), обладает свойством

,

то в окрестности точки , она допускает обращение

.

Подстановка вместо :

1) функции  в соотношение (1.2.13)

, (1.2.13)

2) функции из (1.2.11)

, (1.2.11)

в функцию , определяемую по формуле (1.2.14)

, (1.2.14)

дает окончательно естественный способ задания движения:

, .