2.2.Некоторые понятия из дифференциальной геометрии

Пусть дана кривая (см. рис.1.2.3). На этой кривой будем обозначать:

— некоторую фиксированную геометрическую точку кривой,

— произвольную точку кривой.

Определение 3

Кривая называется регулярной степени кривой, если существует параметризация такая, что вектор-функция  является раз непрерывно дифференцируемой, и в любой точке кривой выполняется неравенство:

.

Здесь

.

Если =1, то кривая называется гладкой.

Определение 4

Точка кривой называется особой, если для любой параметризации  в точке  выполняется равенство

.

Определение 5

Предельное положение хорды (если оно существует), когда точка стремится к точке (по кривой), называется касательной прямой в точке к кривой (см. рис.1.2.3).

Рис.1.2.3

Пусть — касательная в точке к кривой  .

Проведем плоскость через касательную  и хорду (см. рис.1.2.3).

На рисунке (1.2.3) обозначены:

– заданная кривая;

– фиксированная точка на кривой ;

– переменная точка на кривой ;

– касательная прямая в точке ;

– точка отсчета в пространстве;

– положение точки относительно точки  ;

– положение точки относительно точки  ;

– плоскость, проходящая через касательную  и хорду  .

Определение 6

Предельное положение плоскости при (если оно существует) называется соприкасающейся плоскостью.

В дифференциальной геометрии доказано, что если можно указать параметризацию кривой такую, что существуют и в точке  , и при этом

,

то в точке существует соприкасающаяся плоскость.

Нормаль к этой плоскости коллинеарна вектору

.

Здесь

• штрихом обозначена производная по ,

• — значение параметра, соответствующее точке  .

Определение 7

Нормалью в точке к кривой называется любая прямая, перпендикулярная к касательной в точке .

— главная нормаль

нормальная плоскость

—

касательная

спрямляющая плоскость

— бинормаль

соприкасающаяся плоскость

Рис.1.2.4

Определение 8

Плоскость, перпендикулярная к касательной в точке , называется нормальной плоскостью в точке (см. рис.1.2.4).

Определение 9

Главной нормалью в точке называется линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей.

Иначе, главная нормаль — это нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости (см. рис.1.2.4).

Определение 10

Бинормаль в точке — это прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости в точке (см. рис.1.2.4).

Определение 11

Спрямляющей плоскостью в точке называется плоскость, перпендикулярная главной нормали в точке (см. рис.1.2.4).

Очевидно, спрямляющая плоскость проходит через касательную прямую и бинормаль в точке  .

Определение 12

Естественным трехгранником в точке называется трехгранник, образованный нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостями кривой в точке (см. рис.1.2.4).

Определение 13

Длиной дуги кривой называется предел, к которому стремится периметр ломаной, вписанной в дугу, когда количество звеньев стремится к бесконечности, а максимальная длина звена стремится к нулю.

Дифференциал дуги кривой связан с параметризацией кривой следующей зависимостью

. (1.2.4)

Здесь .

Формула (1.2.4) справедлива в декартовой прямоугольной системе координат.

В аффинной системе она имеет вид

,

или

.

Определение 14

Параметризация называется естественной, если в качестве параметра при задании кривой выступает — длина дуги кривой, исчисляемая от некоторой фиксированной точки на этой кривой.

Справедливо утверждение:

для регулярной кривой (т.е. кривой без особых точек) всегда имеет место неравенство:

для любого .

Иначе говоря, регулярная кривая в естественной параметризации при любых имеет значения

.

Более того, из (1.2.4) следует, что

.

для любого .

Рис.1.2.5

Обозначим через и положения точек и на кривой  (см. рис.1.2.5).

Проведем касательные и к ней в этих точках.

Угол  , образованный касательными, называется углом смежности.

Определение 15

Если существует предел , то он называется кривизной кривой в точке  .

Очевидно, кривизна кривой всегда неотрицательна, т.е. .

В дифференциальной геометрии доказано, что если кривая задается в параметризации , то в любой неособой точке, где существуют и , кривизна кривой может быть вычислена по формуле

.

Если кривая задается в естественной параметризации, то

.

Определение 16

Величина называется радиусом кривизны кривой в точке  .

Справедливы следующие формулы Френе, устанавливающие связь направляющих ортов касательной, главной нормали и бинормали с естественной параметризацией кривой:

,

— орт, коллинеарный касательной в точке  ;

,

— орт, коллинеарный главной нормали в точке .

Отсюда находим

.

Вектор определяется по формуле

;

— орт, коллинеарный бинормали в точке  .

Векторы являются взаимно ортогональными единичными векторами и образуют правую тройку.

Определение 17

Тройка векторов с началом в точке называется репером Френе.

Определение 18

Естественной системой координат называется декартовая прямоугольная система координат с полюсом в выбранной точке  на кривой и базисом, совпадающим с репером Френе в этой точке.