2.5.2. Дискретный аналог критерия устойчивости Гурвица

Расчет устойчивости замкнутой дискретной САУ по её характеристическому уравнению M(z)=0 с использованием дискретного аналога алгебраического критерия устойчивости Гурвица основан на введении билинейной подстановки , преобразующей границу устойчивости в виде единичной окружности на комплексной плоскости z-корней уравнения M(z)=0 в мнимую ось на комплексной плоскости w-корней характеристического уравнения M(w)=0, где вся левая полуплоскость будет областью устойчивости, как в непрерывных системах [1].

Пример 2.5.2. Если ЗФП замкнутой дискретной САУ имеет вид

, (2.5.5)

То из (2.5.5) характеристическое уравнение замкнутой сау будет равно:

(2.5.6)

Введем в (2.5.6) билинейную подстановку и получим выражение характеристического уравнения в w-комплексной плоскости в виде:

(2.5.7)

Умножив уравнение (2.5.7) на (1–w)³, получим:

(2.5.8)

Определитель Гурвица для уравнения третьего порядка запишется:

(2.5.9)

Следовательно, данная дискретная САУ устойчива. Критическое значение свободного члена а_3КР характеристического уравнения САУ на границе устойчивости определяется из условия:

(2.5.10)

(2.5.11)

Запас устойчивости по увеличению коэффициента передачи в САУ

(2.5.12)

2.5.3. Дискретный аналог критерия устойчивости Михайлова

Дискретный аналог частотного критерия устойчивости Михайлова позволяет определить устойчивость замкнутой САУ по её характеристическому уравнению M(z)=0 на основе построения годографа вектора (кривой Михайлова) при изменении частоты сигнала от ω=0 до ω=π/T, где Т – период квантования. Для устойчивых САУ угол поворота вектора M(z) против часовой стрелки должен быть равен πn, где n – порядок характеристического уравнения замкнутой САУ [1].

Пример 2.5.3. Характеристическое уравнение из ЗФП замкнутой САУ имеет вид:

(2.5.13)

При подстановке , получаем:

(2.5.14)

где – относительная безразмерная частота; Т – период квантования сигнала.

0	0,11	0
1π /4	– 0,237	– 0,272
2π /4	1,45	– 0,08
3π/4	– 0,123	2,988
4π/4	– 3,73	0

Рис. 2.5.1. Кривая Михайлова

По формуле Муавра , с учётом которой характеристическое уравнение САУ (2.5.14) запишется:

(2.5.15)

Задавая значения от 0 до π, строим годограф вектора M(e ^jωT) (кривую Михайлова) (рис. 2.5.1) по характеристическому уравнению (2.5.15). Вектор характеристического полинома при изменении частоты от 0 до π повернулся против часовой стрелки вокруг начала координат комплексной плоскости на угол 3π, что свидетельствует об устойчивости замкнутой дискретной САУ, имеющий характеристическое уравнение третьего порядка [1].