2.6. Расчет качества дискретных сау

Расчет качества дискретных САУ заключается в определении точности отработки задающих воздействий в установившихся режимах работы и определении показателей качества переходных процессов в переходных режимах работы.

2.6.1.Расчет точности в установившихся режимах

Точность работы САУ в установившихся режимах определяется по установившемуся значению ошибки управления, которое определяется разностью между заданным значением выходной регулируемой величины и её фактическим значением, измеренным датчиком обратной связи x_УСТ=g_ЗАД–y_ОС. В замкнутой дискретной САУ установившееся значение ошибки вычисляется с использованием теоремы о конечном значении дискретной функции ошибки по формуле [1, 2]:

(2.6.1)

где – ЗФП по ошибке X(z) в замкнутой дискретной САУ с единичной обратной связью при ЗФП её разомкнутой цепи W(z); G(z) – Z-изображение задающего воздействия.

Пример 2.6.1. ЗФП разомкнутой цепи дискретной САУ представляется в виде где Т – период квантования, τ – постоянная времени инерционного объекта управления в САУ.

ЗФП по ошибке замкнутой САУ определится в виде:

(2.6.2)

Единичное ступенчатое задающее воздействие в дискретных САУ представляется в виде

Подставив (2.6.2) и G(z) в (2.6.1), определим установившуюся ошибку:

(2.6.3)

Установившаяся ошибка в замкнутой САУ равна нулю, поскольку в разомкнутой цепи САУ имеется интегратор с W_И(z)=z/(z–1).

2.6.2. Расчет качества переходных процессов

Качество переходного процесса в линейных дискретных САУ можно оценивать по прямым показателям основной огибающей решетчатой функции y[nT] переходного процесса выходной регулируемой величины Y(z) при единичном ступенчатом задающем воздействии g[nT]=1[nT], имеющем Z–изображение G (z)=z/(z–1):

(2.6.4)

где W(z) – зет–функция передачи (ЗФП) разомкнутой САУ; Ф(z) – ЗФП замкнутой САУ.

Решетчатую функцию переходного процесса y[nT] можно вычислить по Y(z) с использованием формул обратного Z–преобразования, но эти преобразования сложны для практического использования. Поэтому на практике удобнее применять следующие два способа [1].

1-й способ. Функцию Y(z) (2.6.4) разлагают методом неопределенных коэффициентов на k простых составляющих, имеющих табличные Z–изображения и соответствующие решетчатые функции f_i[nT], суммирование которых для линейных САУ дает решетчатую функцию переходного процесса

2-й способ. Функцию Y(z) (2.6.4) методом последовательного деления числителя на знаменатель разлагают в ряд по степеням z^–i (i=0, 1, …, n), получая Y(z)= , по которому записывается решетчатая функция выходного процесса

Переходный процесс y[nT] также можно вычислить с использованием разложения дробно-рацональной функции Y(z) в ряд Лорана (делением числителя на знаменатель) при единичном коэффициенте при высшей производной знаменателя для вычисления дискретных значений решетчатой функции y[nT] непосредственно по коэффициентам числителя и знаменателя функции Y(z).

Пример 2.6.2. Представим разложение в ряд Лорана дробно-рациональной функции (2.6.4) переходного процесса выходной управляемой величины Y(z) при единичном задающем воздействии в замкнутой САУ с периодом квантования Т=0,1 с, имеющей вид:

(2.6.5)

Правильность вычисления решетчатых функций переходных процессов удобно проверять по начальным и конечным значениям функций. Нулевое начальное значение переходного процесса при единичном ступенчатом задающем воздействии G(z)=z/(z-1) и нулевых начальных условиях определяется по теореме о начальном значении функции [1]:

Конечное установившееся значение решетчатой функции переходного процесса по теореме о конечном значении функции определяется по формуле [1]:

(2.6.7)

Решетчатая функция переходного процесса вычисляется делением числителя на знаменатель с единичным коэффициентом при высшей производной:

(2.6.8)

0z⁰+0,27z^–1+0,672z^–2+0,986z^–3+

+1,14z^–4 +1,16z^–5 +1,108z^–6 +

+1,04z^–7 +0,99z^–8+0,97z^–9+

+0,972z^–10+0,985z^–11+...+1z ^{– ∞}.

(2.6.9)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

По (2.6.9) качество переходного процесса имеет следующие показателями (рис. 2.6.1):

1. время переходного процесса (по вхождению y(t) в зону 5%–отклонений) t_ПП = 0,7с и заканчивается на седьмом шаге, где y(t) изменяется от 1,108 до 1,04;

2. величина перерегулирования σ составляет (1,16–1)/1=0,16 или 16%;

3. время достижения максимума y(t) равно t_M = 0,5 с;

4. количество колебаний – одна полуволна.

Рис. 2.6.1. Переходный процесс в САУ.

Рис.2.6.1. Переходный процесс в дискретной САУ

Пример 2.6.3. Устойчивость и качество переходных процессов зависят от параметров САУ, особенно от периода квантования Т. Рассмотрим переходный процесс в САУ, где ЗФП разомкнутой САУ зависит от Т: W(z)=KT/(z–1). При единичном задающем воздействии g[nT]=1[nT], G(z)=z/(z-1) переходный процесс в замкнутой САУ запишется в виде:

(2.6.10)

При KT ≥ 2 модуль корня характеристического уравнения выйдет за пределы единичной окружности и САУ станет неустойчивой.

Вычислим решетчатую функцию y[n] разложив функцию (2.6.9) в ряд Лорана:

(2.6.11)

По (2.6.10) при разных значениях K, T и КТ получаются различные переходные процессы.

На рис. 2.6.2 показан вид переходных процессов при значениях параметра KT=0,5 (кривая 1), KT=1 (кривая 2), KT=1,5 (кривая 3).

y[nT]

1,5

3

1,0

2

0,5

1

0 1Т 2Т 3Т 4Т 5Т 6Т nT

Рис. 2.6.2. Зависимость качества переходного процесса от KT

При KT=1получается оптимальный переходный процесс без перерегулирования, заканчивающийся за один дискретный шаг 1Т (кривая 2), поскольку в Ф(z) имеется нулевой полюс. При уменьшении KT=0,5 в 2 раза возникает медленно затухающий процесс (кривая 1) с возрастанием времени затухания до 5Т. При увеличении KT=1,5 в 1,5 раза возникает колебательный затухающий процесс (кривая 3) с перерегулированием 50% и увеличением времени затухания до 7Т.

Пример 2.6.4. В одноконтурной САУ (рис. 2.1.1, б) с ЗФП ЭВМ и ОФП ОУ где , определить ошибку при задающем сигнале и значение периода квантования Т, при котором переходный процесс заканчивается за один шаг. ЗФП разомкнутой САУ будет [1]:

(2.6.12)

ЗФП замкнутой САУ будет [1]: (2.6.13)

Из (2.6.13) замкнутая САУ устойчива при , когда корень z₁ характеристического уравнения расположен внутри единичной окружности . Из условия устойчивости получаем . Для завершения процесса за один шаг нужно иметь при и оптимальном

Установившаяся ошибка по (2.6.1) будет [1]:

(2.6.14)