3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.(матрица называется квадратной n-ного порядка, если число её строк=числу столбцов и =n.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Обратная матрица существует в том случае, если определитель квадратной матрицы А не = о.В этом случае матрицу А называют невырожденной(неособенной). А особенная, если определитель =0.

Присоединённая .матрица А^~ присоединённая для матрицы А, если она состоит из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы. Замечание.:чтобы быстро найти присоединённую матрицу для квадратной матрицы 2-го порядка надо поменять местами элементы на гл. диагонали, а перед другими двумя Элементами поменять знак на противоположный

Обратной матрицей А^-1 называют матрицу, для которой справедливы равенства

А_*А^-1=А^-1_*А=Е

Обратную матрицу находят по алгоритму:

1. Вычисляем определитель матрицы А (|A|),

2. Находим транспонированную матрицу А’ .

3. Для каждого элемента матрицы А’ находим алгебраические дополнения (A_ij = ( -1 ) ^i+j * M _ij)

4. _{Составляем присоединённую матрицу А}^~ составление обратной матрицы по формуле: А^-1=1/|А| _* А^~

4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

Минором M_ij элемента a_ij квадратной матрицы A n-ого порядка называется определитель квадратной подматрицы n-1-го порядка, полученной из исходной вычёркиванием i-строки и j-ст-ца.

Рангом матрицы r(A) называется наивысший порядок отличных от 0 миноров.(число элементов на гл. диагонали, отличных от 0)

Элементарные преобразования:1)отбрасывание нулевой строки или столбца.

2)Транспонирование матрицы

3)Сложение(или вычитание.)элементов какой-либо строки или столбца с соответствующими элементами др.строки (столбца), умноженными на какое-то(любое)число

4)Смена местами строк или столбцов матрицы с сохранением порядка следующих элементов в них. . (нужно, чтоб под гл. диагональю были 0.количество цифр на гл. диагонали и есть ранг)

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Строки E1,E2,…,em называются линейно зависимыми, если существуют числа K1,K2,…km не все одновременно = 0, такие что линейная комбинация данных строк= нулевой строке, т.е.

K1E1+K2e2+…+KmEm = 0

Если это равенство выполняется при условии K1=K2=..Km=0, то строки E1,E2,..Em называются линейно независимыми (нельзя получить строку из 0)

ТЕОРЕМА о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейных независимых строк или столбцов матрицы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k₁, k₂, ..., k_n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁, x₂, ..., x_n дает верное числовое равенство.(Х1=К1;Х2=К2:…Хn=Kn(только в виде столбца))

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

АхХ = В.

Здесь  — это матрица системы,  — столбец неизвестных, а  — столбец свободных членов

СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если решений не имеет.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если имеет бесконечное множество этих решений.