22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.

     Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

     Теорема: Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо произвести такие преобразования, что бы матрица квадратичной формы стала диагональной.

Условия приведения квадратной матрицы к диагональному виду:

Если квадратная матрицы порядка п имеет несколько линейно независимых собственных векторов и соответствующих собственных значений, то она может быть приведена к диагональному виду, причём элементы диагональной матрицы являются собственные значения.

Теорема (закон инерции квадратичных форм) Число слагаемых с положительным (отрицательным)коэффициентом квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. Например, квадратичную форму L

23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).

Квадратичная форма L(x₁,x₂,….,x_n) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных ,из которых хотя бы одно отлично от нуля

L(x₁,x₂,….,x_n)>0 (L(x₁,x₂,….,x_n)<0)

Квадратичная форма L=X^’AX положительно определена тогда и только тогда, если:

а)все собственные значения ƛ_i матрицы А положительна

б)все главные (угловые) минора матрицы А положительны(по Сильвестору)

Квадратичная форма L=X^’AX отрицательно определена тогда и только тогда, если:

а)все собственные значения ƛ_i матрицы А отрицательны

б)все главные (угловые) минора матрицы А нечетного порядка отрицательны. А матрицы четного порядка положительны(по Сильвестору)

Если квадратичная форма знакоопределенная, то все главные (угловые) миноры ее матрицы отличны от нуля

Критерий собственных значений матрицы:

1. Если все собственные значения больше нуля, то квадратичная форма тоже больше нуля.

2. Если все собственные значения меньше нуля, то квадратичная форма тоже меньше нуля.

3. Если все собственные значения больше, либо равны нулю, то квадратичная форма тоже меньше нуля.

4. Если некоторые собственные значения равны нулю, а остальные меньше, то квадратичная форма отрицательно полу определена.

5. Если некоторые собственные значения больше нуля, а остальные меньше, то квадратичная форма может иметь любой знак.

Критерий Сильвестра:

Критерий Сильвестра позволяет выделить положительную и отрицательную знакоопределённость квадратичной формы с помощью вычисления нескольких определителей, являющихся угловыми минорами квадратичной формы.

После вычисления миноров суждение о знакоопределенности квадратичной формы выносится по следующему правилу:

1. Если все угловые миноры положительны, то квадратичная форма положительно определена.

2. Если угловые миноры чередуются знаком, начиная с минуса, то есть: ,то квадратичная форма отрицательно определена.

3. Если идёт чередование знаков, начиная с плюса, или любое другое сочетание знаков, или существуют миноры, равные нулю (последний минор не равен нулю), то форма знака неопределенна.

4. Если последний минор равен нулю, в этом случае критерий Сильвестра не различает знакоопределённости формы, и необходимо использовать другой критерий.

24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Пусть даны две прямые А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0_. Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т е они могут быть найдены из системы: { А₁х+В₁у+С₁=0 ; А₂х+В₂у+С₂=0}. Если прямые не параллельны, т е А₁/А₂≠В₁/В₂, то решение системы дает ед точку пересечения прямых.

25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

а)Запишем ур-ние прямой с к=1: у=kх+b; -kx+y-b=0; -kx→Ax,y→By.-b→C;Ax+By+C=0-ур-ние прямой.Частные случай ур-ния Ах+Ву+С=0: 1) А=0,следов. Ву+С=0, В,С-const.у=-С/В. Прямая || оси ОХ. А=С=0,следов. у=0-прямая совпадает с осью ОХ.

2) В=0,следов. Ах+С=0, А,С- const. Х=-С/А. А≠0. Прямая || оси ОУ. В=С=0,следов. х=0- прямая совпадает с осью ОУ.

3) С=0, следов. Ах+Ву=0. у=-А/В×х-прямая проходит ч/з начало координат.

б)1. Если прямая L₁|| L₂,следов. φ =0, tg φ=0, следов. k₁₌k₂-условие || двух прямых.

2. L₁┴ L₂, тогда φ =π/2, следов. tg π/2-неопределен. сtg π/2=0, следов. сtgφ=1/tgφ=(1+k₁k₂)/( k₂- k₁). сtgφ=0, следов. 1+k₁k₂=0, k₁k₂= -1-условие ┴ двух прямых.

26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.

Кривой второго порядка называется алгебраическая линия второй степени, общее уравнение которой имеет следующий вид: Любые уравнения такого вида можно привести к каноническому виду.

 Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром.

Н ормальные уравнения окружности радиуса R с центром в точках О’(x₀;y₀) и O(0;0) соответственно имеют вид

(x – x₀)² + (y – y₀)² = R² ,

X² + y² = R² .

Эллипс – множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид x²/a²+y²/b²=1,

где a и b – полуоси эллипса; F₁(c;0) и F₂ (-c;0) – фокусы эллипса, если a > b.

При этом C² = a² – b² .

Эксцентриситет эллипса e характеризует форму эллипса: e = c/a<1

27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.

Г ипербола – множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух заданных фиксированных точек, называется фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид x²/a²-y²/b²=1

где a и b – соответственно действительная

и мнимая полуоси гиперболы; F₁(c;0) и

F₂ (-c;0) – фокусы гиперболы ( c > a ).

При этом C² = a² + b²

Эксцентриситет гиперболы e = c/a>1

Уравнения асимптот гиперболы: y= ± bx/a .

Парабола – множество всех точек плоскости, равноудаленных от заданной

точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид

y² = 2 px (симметрична относительно оси Ox )

или

x² = 2 py (симметрична относительно оси Oy )

Уравнение директрисы параболы x = -p/2

28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

     Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)

где - нормальный вектор плоскости.

      В векторном виде .

     Частные случаи общего уравнения плоскости:

     1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

     2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

     3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

     4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

     5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

     6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

     7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

     8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

     9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

     10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

     11) z = 0 - плоскость Oxy;

     12) y = 0 - плоскость Oxz;

     13) x = 0 - плоскость Oyz.

 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей

или

Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных: А₁/А₂=В₁/В₂=С₁/С₂

29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Определение: Общими уравнениями прямой в пространстве называется система:

Канонические уравнения прямой в пространстве.

Рассмотрим , проходящую через (.) параллельно вектору

(8)- канонические уравнения прямых в пространстве.

Замечание: если одна или две координаты вектора нулевые, не следует понимать отношение (8) как деление на ноль, если какая-то из координат вектора равна 0 => прямая лежит в одной из координатных плоскостей.

Пример:

Из канонических уравнений прямой легко можно получить общие уравнения.

30. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.

  Угол между плоскостями. Даны две плоскости A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (1) и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (2)

   Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей

или

Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных: А₁/А₂=В₁/В₂=С₁/С₂

Угол между прямыми:

Условие параллельности двух прямых: А₁/А₂=В₁/В₂=С₁/С₂

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве

Угол между прямой и плоскостью:

Углом между прямой и плоскостью называется любой смежный угол, образованный самой прямой и проекцией этой прямой на плоскости:

Условие параллельности прямой и плоскости: Am+Bn+Cp=0

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:A/m=B/n=C/p