3.5. Теоремы подобия

Первая и вторая теоремы исходят из факта существования подобия и формулируют основные свойства подобных между собой явлений. Третья теорема, наоборот, позволяет установить признаки подобия.

Первая теорема устанавливает зависимость между константами подобия, вытекающую из наличия уравнений, описывающих механизм данного явления. Ее можно сформулировать так:

у подобных явлений одноименные критерии подобия одинаковы, а индикаторы подобия равны единице.

(3.30)

Комплексы типа (3.22) называются критериями подобия; их принято обозначать первыми буквами фамилий ученых, работавших в соответствующей области науки. Критерии, не имеющие таких общепринятых названий, обозначаются буквой k. Все критерии подобия являются безразмерными величинами. Наличие различных связей между переменными вносит дополнительные возможности при выводе критериев подобия.

Кроме того, если для одного и того же явления определено из описывающих его уравнений несколько критериев подобия, то и различные комбинации их могут рассматриваться как критерии подобия. Например:

(3.31)

Вторая теорема утверждает, что операция интегрирования не изменяет вида критериев подобия. Ее можно сформулировать так:

критерии подобия, полученные из дифференциальных уравнений одновременно являются критериями подобия, полученными из решения этих уравнений.

Третья теорема устанавливает признаки подобный явлений. Ее содержание:

явления подобны, если условия однозначности их пропорциональны (выполняются все условия подобия), а критерии, полученные из условия однозначности численно одинаковы.

Критерии, составленные только из величин, входящих в условия однозначности, называются определяющими. Критерии, включающие величины, не входящие в условие однозначности (они получаются в результате решения задачи), называются неопределяющими.

Согласно третьей теореме, равенство одноименных определяющих критериев вполне достаточно для того, чтобы явления были подобны. Подобные же явления характеризуются равенством всех критериев подобия. Следовательно, равенство определяющих критериев означает и равенство всех неопределяющих критериев. В соответствии с этим каждый из неопределяющих критериев можно представить в виде функции совокупности определяющих критериев (К₁ , К₂ , …, К_n)

(3.32)

Уравнения, выражающие зависимость неопределяющих критериев от определяющих называются критериальными уравнениями.

3.6. Физический смысл критериев гидромеханического и теплового подобия

Комплексы характеризуют изменение соответственно скорости и температурного поля во времени в направлении определяющего размера ( l ) и являются определяющими для нестационарных процессов.

- мера отношения сил инерции к динамическому напору ( - удельный вес). При изучении теплообмена в вынужденном потоке критерий Фруда исключается из рассмотрения вследствие весьма малого влияния сил тяжести на поля скоростей и давлений.

В случае естественной конвекции он учитывается как определяющий, но преобразуется в критерий Грасгофа

где - температурный коэффициент.

Критерий Грасгофа характеризует соотношение между подъемной силой, обусловленной различием плотности в отдельных точках неизотермического потока, и силами вязкого трения:

- мера отношения сил инерции к силам вязкого трения.

Критерий Рейнольдса (Re) является определяющим при теплообмене с вынужденным движением теплоносителя. Это комплекс кинематического подобия поля скоростей. Его величина характеризует режим движения жидкости или газа.

- определяет отношение перепада статических давлений (гидравлического сопротивления) в потоке и динамического напора, т.е. характеризует динамическое подобие. Критерий Эйлера является неопределяющим, так как является функцией процесса. Как показывают исследования, для вынужденного потока его величина и поэтому в критериальные уравнения не включается.

- характеризует соотношение конвективного переноса тепла в потоке и тепла, поступающего путем теплопроводности. Критерий Пекле является определяющим. Он представляет собой комплекс кинематического подобия поля температур.

Сравнение комплексов Ре и Re, выполняющих одинаковое назначение для полей температур и скоростей, вводит новый критерий – Прандтля

Это определяющий критерий, характеризующий подобие полей температур и скоростей. Такое подобие полностью соблюдается, если Ре =Re, ( ) или Pr =1. Он содержит физические величины и тем самым тоже является физической константой вещества. Для некоторых капельных жидкостей (вода, масло, глицерин и др.) с ростом температуры величина Pr сильно уменьшается. Для газов значение Pr практически зависит только от их атомности.

Для одноатомных газов Pr = 0,67; для двухатомных Pr = 0,72; для трехатомных Pr = 0,80; для четырех и многоатомных Pr = 1,00.

- характеризует соотношение между интенсивностью теплоотдачи и интенсивностью теплопроводности в пограничном слое потока. Коэффициент теплоотдачи  который входит в структуру комплекса Nu , всегда является величиной искомой в конвективном теплообмене. Вследствие этого критерий Нуссельта всегда является определяемым в процессах теплоотдачи.