Моделі теплового розширення твердих тіл
Модель ангармонічних коливань. Для побудови елементарної теорії теплового розширення твердих тіл можна використати найпростішу двоатомну модель, яка дає достатнє узгодження не тільки якісне, а й кількісне.
Е
нергія
взаємодії в такій моделі має вигляд
асиметричної кривої 1 на рис.1 потенціалу
Леннарда-Джонса
,
(2.8)
де
і
–
константи,
–
відстань між атомами, що взаємодіють.
У всіх випадках
,
і чим більша ця нерівність, тим більша
асиметрія.
Уявлення
про
гармонічність характеру коливань
частинок у кристалічній гратці є
коректним лише при дуже малих амплітудах
коливань атомів навколо рівноважної
відстані
,
що відповідає найменшій енергії системи
(крива 2 на рис.2.1). Наближення гармонічних
коливань ніяким чином не передбачає
теплове розширення твердих тіл і не
може бути застосовано для його пояснення.
Потенціальну енергію двох сусідніх атомів, що коливаються при зміщенні їх на відстань від положення рівноваги при 0 К можна розкласти у степеневий ряд у околі точки рівноваги
(2.9)
де ангармонізм моделі враховується у третьому порядку розкладу (2.9).
Поклавши для випадку одновимірної задачі
;
;
;
;
,
із (9) отримаємо наближене співвідношення
де
має назву коефіцієнта квазіпружної
сили,
коефіцієнт ангармонічності. Сила
взаємодії атомів
,
де поруч із квазіпружною силою гармонічних коливань (перший доданок) виникає доданок, у якому наближено враховується асиметрія міжатомної взаємодії.
Нехай
середнє зміщення атомів від положення
рівноваги. Воно відмінне від нуля
внаслідок асиметрії потенціалу
Леннарда-Джонса (рис.2.1, крива 1). Середнє
значення проекції сили, яка діє на атом,
що коливається, на вибраний напрямок
дорівнює нулю
,
отже
.
Оскільки середня енергія теплових
коливань
буде дорівнювати
(
стала
Больцмана), то
,
а
.
Прямо пропорційна залежність середнього
зміщення атомів відносно положення
рівноваги
від температури
і призводить до збільшення розмірів
тіл при нагріванні.
Введений формулою (2.2) коефіцієнт лінійного розширення твердих тіл у рамках розглянутої моделі набуває вигляду
,
(2.10)
а
за формулою (2.7) можна визначити і
коефіцієнт об’ємного розширення
.
Статистична модель. Більш строго вираз (2.10) можна отримати, скориставшись функцією розподілу Больцмана у потенціальному полі, яка дозволяє усереднити значення будь-якої фізичної величини з урахуванням термодинамічної імовірності відповідних значень.
Імовірність відхилення атома від стану рівноваги на величину визначається як
.
(2.11)
Розклавши останній множник в ряд, отримаємо
,
а
сталу
знаходять з умови нормування функції
розподілу
,
звідки
.
За означенням середнє зміщення атома
від положення рівноваги визначається
за допомогою функції розподілу як
.
Після очевидних перетворень отримаємо , як і у випадку моделі ангармонічних коливань, а отже і вираз (2.10) для коефіцієнта лінійного розширення твердих тіл.