2.1. Вывод интеграла Дюамеля для диссипативной системы

Пусть в узлах дискретной диссипативной системы действует произвольная динамическая нагрузка p_i (t) (i = 1, ... , n), представленная вектором P(t) (рис. 1).

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных Лагранжа частное решение системы (13) ищется в виде

Y(t) = Re [Ф(t)A(t)], (14)

где A(t)  вектор произвольных постоянных.

Для получения системы уравнений Лагранжа необходимо дважды продифференцировать выражение (14). При операции дифференцирования над матричной функцией Ф(t), необходимо учитывать свойство перестановочности: Ф(t)S = SФ(t). Перестановочность матриц обусловлена тем, что функция Ф(t) раскладывается в бесконечный ряд по степеням матричного аргумента S, в силу чего S становится перестановочной с каждым членом ряда. Заметим также, что Ф(t) перестановочна с любой целой степенью S.

При получении вектора скоростей (t) потребуем, чтобы слагаемое, содержащее (t), равнялось нулю:

Re [Ф(t) (t)] = 0, (15)

тогда

(t) = Re [SФ(t)A(t)]. (16)

Дифференцируя выражение (16), получим вектор ускорений

(t) = Re [SФ(t) (t) + S²Ф(t)A(t)].

Подставляя выражения величин Y(t), (t), (t) в левую часть уравнения (13) и группируя члены, приходим к уравнению

Re [MS²Ф(t)A(t) + CSФ(t)A(t) + KФ(t)A(t) + MSФ(t) (t)] =

= Re [(MS² + CS + K) Ф(t)A(t) + MSФ(t) (t)] = P(t),

первое слагаемое которого обращается в нуль за счет характеристического члена MS² + CS + K = 0. Отсюда, принимая во внимание соотношение, полученное ранее (15), вытекает система двух матричных уравнений:

Re [Ф(t) (t)] = 0, Re [SФ(t) (t)] = M^–1P(t). (17)

Для того, чтобы определить вектор A(t) в (14) необходимо вначале из совместного решения системы уравнений (17) найти вектор (t) и затем проинтегрировать его выражение. С этой целью проведем преобразование второго уравнения в (17), пользуясь свойством (9).

Тогда ReSRe [Ф(t) (t)] – ImSIm [Ф(t) (t)] = M^–1P(t).

Учитывая, что 1-е слагаемое в (17) = 0 и структуру матричного корня

I



m S = –0.5iM^–1U,

будем иметь: 0.5M^–1U iIm [Ф(t) (t)] = M^–1P(t).

После упрощений получим iIm [Ф(t) (t)] = 2U^–1P(t).

Ввиду Ф(t) (t) = iIm [Ф(t) (t)], имеем: Ф(t) (t) = 2U^–1P(t).

Отсюда (t) = 2Ф(–t)U^–1P(t),

где Ф(–t) = Ф(t)^–1 = e^–St.

При проведении дальнейших преобразований воспользуемся соотношением UФ(t) = Ф(t)^ТU, аналогичному (4), из которого следует

Ф(–t)U^–1 = U^–1Ф(–t)^T.

Записывая вектор первообразных функций в виде интеграла с переменным верхним пределом t и вводя новую переменную интегрирования , представим вектор произвольных постоянных в виде

A(t) = 2U^–1 (–)^T P() d,

где t₀  время начала действия внешней нагрузки P(t). Тогда уравнение реакции системы (14) принимает следующий вид:

Y(t) = 2Re {U^–1 (t–)^T P() d}. (18)

Полученное уравнение описывает вынужденные колебания диссипативной вязкоупругой дискретной системы с n степенями свободы при действии динамической нагрузки общего вида.

Уравнение (18) обладает всеми признаками интеграла Дюамеля. Действительно, это выражение содержит входную P() и выходную Y(t) величины  векторы внешней нагрузки и перемещений.