1.2. Матричные соотношения, зависящие от свойств материала

Для любой упругой ДДС имеют место условия невырожденности

det S  0, det U  0. (14)

Отсюда, при малой диссипации упругой ДДС, характерной для реальных условий колебаний строительных конструкций, справедливы свойства

V, iU  M_n(R) (i  мнимая единица); (15)

S_k = S, S_l = (k, l = 1, 2; k  l);

MS + S*M = –C, S*MS = K, (16)

где S* – сопряженная матрица: S* = ^Т.

Из условия (11) следует, что при малой диссипации упругой ДДС элементы матрицы V всегда вещественны, а матрицы U – мнимые. Это приводит к системе соотношений (12), а именно: комплексно-сопряженным решениям МКУ в корневой паре (3) и более упрощенной записи формул Виета (7).

Формулы (10)–(12) могут выполняться и для упругопластической системы. В частности, условие det S  0 в (10) будет выполняться до тех пор, пока матрица жесткости K в (7) будет невырожденной, хотя само изменение значения K свидетельствует о нелинейных процессах, протекающих в колебательной системе.

При выполнении условий (10) имеет место следующая группа соотношений

S^1 = –K^1(C + V + U) / 2;

A = (US)^–1 = S^–1U^–1 = –K^1/2 – K^1(C + V )U^1 / 2,

B = SU^–1 = U^–1S^T = M^1 / 2 – U^1(C + V )M^1 / 2,

D = SU^–1M = U^–1S^TM = U^–1K, (12)

G = U^–1M = U^–1(S^T)^–1K = (US)^–1K = AK.

Первая формула в (12) вытекает из второго соотношения Виета в (11): S^1 = K^1S*M с последующей подстановкой в правую часть матричного корня из (4) при S₂ = . Остальные формулы в (12), с учетом (10), дают следующие дополнительные свойства:

Re A = –K^1 / 2, Re B = M^1 / 2 ,

Re D = 0, Re G = (Re A)K = –E / 2 (13)

(E – единичная матрица).

Заметим, что свойства (9) – (12) могут выполняться не только для задач колебаний упругих ДДС, но и для задач с физической и конструктивной нелинейностью.

Матрица внутренних динамических характеристик системы

Пусть S  D_n. Выполним для S разложение в базисе собственных векторов:

S = PP^–1, (21)

где  – диагональная матрица спектральных (внутренних) характеристик динамической системы; P – матрица собственных форм (векторов) демпфированных колебаний. Матрица  имеет вид

 = diag (₁, ... , _n) = –G + iW, (22)

где G = –Re = diag(₁, ... , _n), W = Im = diag(₁, ... , _n) – матрицы коэффициентов демпфирования и собственных частот демпфированных колебаний, определяемые соответственно действительной и мнимой частью .

Следовательно, решения МКУ (14) содержат в себе всю информацию о собственных колебаниях ДДС. Собственные числа и собственные векторы корня S имеют реальный физический смысл. Любое собственное число _k матрицы S есть совокупность двух параметров: коэффициента демпфирования _k и частоты собственных колебаний _k, заключенных соответственно в действительной и мнимой частях числа _k = –_k + i_k. Принадлежащий этому числу собственный вектор P_k является k-й собственной формой демпфированных колебаний дискретной системы.

Следует отметить, что характеристическое уравнение (1), так же как и уравнение (2), обладает строгим физическим смыслом. В матричном виде (2) выражает условия равновесного состояния узлов диссипативной системы в процессе ее движения по каждой собственной форме колебаний ДДС. В связи с этим МКУ (1) будем называть уравнением движения собственных форм колебаний, а матрицу S – матрицей внутренних динамических характеристик.