2.5. Определители. Задачи

1. Доказать свойства 2.1 и 2.5.

2. Вывести следующее правило «треугольника» для вычисления определителя матрицы третьего порядка:

.

3. Доказать, что

4. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, находящиеся выше (ниже) главной диагонали, равны нулю. Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению всех ее элементов на главной диагонали. В частности, .

5. Пусть даны функций . Доказать, что если все они одновременно обращаются в нуль при некотором значении , то определитель матрицы , -я строка которой совпадает с вектором-строкой равен нулю.

6. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если все ее элементы на главной диагонали равны нулю, а сумма любых двух элементов, симметричных относительно главной диагонали, также равна нулю, т.е. . Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю.

7. Пусть все числа различны. Тогда матрицей Вандермонда называется матрица:

Доказать, что определитель матрицы Вандермонда равен произведению всех разностей вида , где .

8. Пусть А – квадратная матрица порядка . Произведение называется членом определителя, если координаты вектора составлены из номеров столбцов (в произвольном порядке) матрицы А, а - число всех таких пар координат вектора , в которых большее число расположено в векторе раньше меньшего (такие пары называются инверсиями). Заметим, что член определителя матрицы А состоит из сомножителей, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Доказать, что сумма всех членов определителя матрицы А порядка равна .

2.6. Ответы, указания, решения

2. Указание: воспользоваться теоремой 2.1 и примером в начале пункта 2.4.

3. Решение. Докажем индукцией относительно порядка матриц. Утверждение непосредственно проверяется при . Предположим, что оно верно для всех квадратных матриц порядка . Докажем его справедливость для произвольной матрицы А порядка . Обозначим и разложим по первому столбцу: Но и, следовательно, по индуктивному предположению . Поэтому

.

4. Решение. Докажем индукцией относительно порядка матриц. Утверждение непосредственно проверяется для треугольных квадратных матриц порядка 2. Предположим, что оно верно для всех квадратных треугольных матриц порядка . Докажем его справедливость для произвольной треугольной матрицы А порядка . Для определенности считаем, что все элементы матрицы А, которые выше главной диагонали, равны нулю. Разложим по первой строке:

где - треугольная матрица порядка и, следовательно, для нее выполняется индуктивное предположение, т.е. . Отсюда , что и требовалось доказать.

5. Решение. Если обозначить через вектор-строку , то согласно условию, т.е. однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение . Поэтому по следствию 1.3 столбцы матрицы F линейно зависимы, т.е. F – вырожденная. Но тогда по следствию 2.6. Утверждение доказано.

6. Решение. Пусть

и нечетно. Если умножить каждую строку матрицы на -1, то опять получится матрица А. Из свойства 2.5 вытекает, что или , что возможно только при .

7. Решение. Докажем индукцией относительно порядка матрицы Вандермонда. Матрица Вандермонда второго порядка имеет вид и ее определитель равен , т.е. утверждение выполняется. Предположим, что утверждение верно для матриц Вандермонда порядка . Произведем следующие элементарные преобразования столбцов матрицы В: поочередно из каждого столбца, начиная с -го, вычитаем предыдущий столбец, умноженный на . В результате получим матрицу:

,

откуда

.

Из того, что последний сомножитель является определителем матрицы Вандермонда порядка . Следует требуемое утверждение.

7. Доказательство. Доказательство утверждения проведем индукцией относительно порядка матрицы А. Для матриц второго порядка его справедливость проверяется непосредственно. Предположим, что утверждение верно для матрицы порядка и рассмотрим квадратную матрицу порядка . Из определения определителя следует, что

.

По индуктивному предположению для любой матрицы определитель состоит из слагаемых, каждое из которых содержит в качестве сомножителей ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы . Поэтому рассматриваемая сумма может быть представлена в виде слагаемых, составленных таким же образом. Осталось доказать, что каждое такое слагаемое фактически является членом определителя. Рассмотрим одно из таких слагаемых в выражении . По индуктивному предположению оно равно:

,

где - число инверсий вектора , координаты которого составлены из номеров столбцов матрицы , содержащих соответственно элементы матрицы А. При этом следует отметить, что из-за исключения -го столбца из матрицы А происходит сдвиг ее номеров столбцов ( на 1 уменьшаются все номера с -го по -1). Поэтому

(2.3)

Сравним числа и , где - число инверсий вектора Ввиду (2.3) число инверсий, образованных парами координат, не содержащих в векторах и одинаково. Число , стоящее на первом месте в векторе , образует инверсию с меньшими числами 1.2. …, . Поэтому Числа и имеют одинаковую четность. Следовательно, слагаемое равно члену определителя . Отсюда следует, что сумма членов определителя матрицы А равна .