Математическое моделирование процессов периодического культивирования микроорганизмов

Микробиологический синтез (биосинтез) – это процесс, который протекает с участием микроорганизмов и сопровождается образованием биомассы. Целевым продуктом биосинтеза является либо сама биомасса, либо различные вещества, продуцируемые микроорганизмами в процессе их жизнедеятельности. Основные стадии процесса биосинтеза – рост микроорганизмов и накопление биомассы – происходит в ферментаторах, работающих чаще всего периодически. В них загружают питательную среду и засевную дозу микроорганизмов. Образовавшуюся культуральную жидкость интенсивно перемешивают. Однако, несмотря на перемешивание, культуральная жидкость не является однородной

Во-первых, клетки микроорганизмов могут объединяться, образуя агломераты.

Во-вторых, неоднородной является сама питательная среда: в ней могут содержаться диспергированные капли плохо растворимых углеводородов и пузырьки газа. Кроме того, неодинаковыми могут быть и размеры клеток.

При моделировании периодического процесса биосинтеза при неоднородной биомассе полагают, что лимитирующий субстрат находится в питательной среде в растворенном виде, а биомасса, загружаемая в аппарат, представляет собой совокупность отдельных агломератов различной массы. Кинетика роста агломерата описывается уравнением

, (3.1)

а скорость потребления субстрата агломератом клеток массы m равна

. (3.2)

Исходные данные:

- ненормированная плотность распределения массы P(m₀) агломератов клеток в момент t = 0;

- объем среды V_y (предполагается, что в ходе процесса он не изменяется);

- начальная концентрация субстрата С_у(0), константы k₁, k₂, k₃;

- коэффициент формы частиц χ.

Требуется построить модель и рассчитать зависимости, описывающие изменение во времени концентрации С_у(t) субстрата и общей массы М(t) микроорганизмов.

Аналитическое решение уравнения (3.1) при начальных условиях m(0) = m₀ имеет вид

.

При сделанных предположениях скорость потребления субстрата агломератом клеток начальной массой m₀ равна

.

Кинетика состояния среды описывается в этом случае уравнением материального баланса по лимитирующему субстрату

,(3.3)

Изменение общей массы микроорганизмов можно найти с учетом того, что при сделанных допущениях рост массы клеток пропорционален уменьшению массы субстрата

,

откуда

. (3.9)

Уравнения (3.1) – (3.4) представляют собой математическое описание процесса биосинтеза для рассматриваемого случая. Расчет по модели сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения (3.3), которое может быть получено численно, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Численные значения интегралов находят, например, по формулам прямоугольников или Симпсона.

Приведенная модель процесса биосинтеза (3.1) – (3.4) относится к классу динамических нелинейных моделей с сосредоточенными координатами.

Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования микроорганизмов

Есть две разновидности непрерывных процессов культивирования микроорганизмов: процессы полного вытеснения, или тубулярные, и процессы полного перемешивания, или хемостатные.

Рассмотрим тубулярный процесс культивирования.

В ходе данного процесса питательная среда и посевной материал непрерывно поступают в аппарат, в котором нет обратного смешения. Аппарат выполняется в виде длинной трубы большого диаметра (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 – Схема тубулярного непрерывного процесса культивирования микроорганизмов

Жидкость на входе в аппарат смешивается с посевным материалом. По мере их продвижения в аппарате одновременно осуществляется рост биомассы и процесс ферментации. В данном случае время движения жидкости t_l от входа в аппарат до любого сечения по длине потока l можно рассчитать как

, (3.5)

где A – площадь сечения потока;

F – объемный расход жидкости.

На выходе из аппарата (при l = L) время пребывания жидкости составляет

. (3.6)

Кривая изменения концентрации субстрата S, биомассы X и продукта P по длине аппарата аналогична кривой изменения во времени в периодическом процессе – с учетом связи t и l.

Таким образом, тубулярный процесс с учетом закономерностей протекания процесса ферментации полностью подобен периодическому.

Общие математические закономерности для данного процесса могут быть описаны системой следующих уравнений:

, (3.7)

, (3.8)

, (3.9)

где D_S, D_C и D_P – коэффициенты диффузии субстрата, микроорганизмов и продукта метаболизма, соответственно;

w_S = w_C = w_P – скорость движения потока.

Данная система уравнений должна быть дополнена граничными и начальными условиями:

- начальные условия при t = 0 и 0 ≤ x ≤ L:

, (3.10)

, (3.11)

, (3.12)

- граничные условия при t > 0:

при x = 0

, (3.13)

, (3.14)

, (3.15)

при x = L:

, (3.16)

, (3.17)

. (3.18)

Приведенная система уравнений (3.7) – (3.9) вместе с граничными (3.10) – (3.12) и начальными (3.13) – (3.18) условиями формирует замкнутую математическую модель непрерывного культивирования микроорганизмов в тубулярном реакторе.

Данная математическая модель может быть решена средствами прикладного программного обеспечения.

Как уже упоминалось выше, ферментационная среда представляет собой сложную многофазную систему, состояние которой зависит от природы микроорганизмов, их морфологических и физиологических особенностей, концентрации субстратов, степени и интенсивности аэрации, перемешивания и пр. Таким образом, в общем виде упрощенная математическая модель ферментатора включает в свой состав помимо ранее описанных кинетических зависимостей еще и модели гидродинамики и теплообмена (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Структурная схема математической модели ферментатора

Рассмотрим более подробно некоторые математические представления о структуре гидравлических потоков и теплопереносе.

В потоках газов или жидкостей перенос вещества осуществляется как за счет непосредственного соприкосновения молекул и их взаимодействия (молекулярный перенос, определяемый законами микрокинетики), так и за счет переноса вещества частицами жидкости – конгломератами молекул, – перемещающимися от одной точки данной среды в другую (вихревой перенос, определяемый законами макрокинетики).

Преимущественно влияние того или иного механизма определяется гидродинамической обстановкой процесса. Механизм переноса в пределах каждой фазы непосредственно связан с гидродинамикой однофазного потока, механизм же переноса через поверхность раздела фаз – с гидродинамикой двухфазного потока. Поэтому при макропереносе вещества важное значение приобретает вихревое движение жидкости, так как вихри являются переносчиками энергии и вещества в потоке.

Зависимость между силами, действующими в жидкости, устанавливается в форме уравнений движения жидкости. Сначала установим эту связь для жидкости, движущейся без трения (идеальная жидкость) и находящейся под действием сил тяжести и давления.

Для осей x, y, z можно записать следующие уравнения:

(3.19)

Данная система дифференциальных уравнений называется дифференциальными уравнениями движения Эйлера.

Для установившегося режима движения жидкости при условии, что компоненты скорости изменяются в направлении соответствующих осей, уравнения движения будут иметь вид:

(3.20)

Они выражают действие сил в точке движущейся жидкости. Чтобы выразить действие сил по всей длине граней некоторого параллелепипеда, необходимо левые и правые части уравнений умножить на длину соответствующих граней, тогда получим:

(3.11)

Интегралом последнего уравнения соответственно будет

, (3.12)

или

, (3.13)

где z – положение рассматриваемой точки в текущей жидкости относительно уровня сравнения, м;

P/γ – статический напор в рассматриваемой точке, м;

w²/(2·g) – скоростной или динамический напор в рассматриваемой точке, м.

Последнее уравнение представляет собой уравнение движения в конечном виде или уравнение Бернулли.

Согласно уравнению Бернулли, закон движения жидкости можно интерпретировать:

1) при установившемся движении идеальной жидкости для любой точки потока сумма статического и динамического напоров остается величиной постоянной;

2) при установившемся движении идеальной жидкости в той точке потока, где скорость больше, давление меньше;

3) при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной (z + P/γ) и кинетической энергии (w²/(2·g)) остается величиной постоянной.

Хотя уравнение Бернулли получено для ограниченных условий (установившееся движение, жидкость без трения), тем не менее, оно позволяет решать основные задачи движения жидкостей, связывая скорость и давление в потоке.

При учете сил трения в дифференциальное уравнение движения жидкости Эйлера необходимо ввести дополнительное слагаемое, которое получаем из уравнения Ньютона. Силу внутреннего трения τ₀ при одномерном движении жидкости на единицу поверхности выражается, по Ньютону, как

,

где µ – вязкость жидкости.

Для силы трения относительно оси z получим выражение

. (3.14)

В этом случае дифференциальные уравнения неустановившегося движения вязкой жидкости при изменении компонентов скоростей по всем направлениям получим в виде

(3.15)

Полученные уравнения называются уравнениями Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. В общем виде уравнения Навье-Стокса не могут быть решены аналитически, так как невозможно определить граничные условия для неустановившегося движения вязкой жидкости. В то же время эти уравнения математически выражают целый класс движения жидкостей и являются математической моделью этого движения.

В рассматриваемой задаче расчетная область принимается в виде (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 - Схема расчетной области и нумерация границ

Граничные условия задаются следующим образом:

Граница 1:

, (3.16)

где ,

G – объемный расход.

Граница 2 и 3:

, (3.17)

Граница 4:

, (3.18)

. (3.19)

При этом полагали, что вязкость и плотность раствора, движущегося по реактору, зависит от концентрации субстрата, продукта реакции и содержания микроорганизмов.

Помимо гидродинамики на процесс ферментации значительное влияние оказывает теплообмен. Теплообменом называется любой процесс переноса теплоты, в котором она в соответствии со вторым началом термодинамики самопроизвольно переходит от более нагретой среды к менее нагретой. Движущей силой процесса переноса теплоты является разность температур.

Перенос теплоты возможен тремя различными способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением.

Теплопроводностью называется перенос теплоты при непосредственном соприкосновении тел (или частей одного тела) с различными температурами. Этот процесс можно представить себе как распространение теплоты от частицы к частице при отсутствии их перемещения. В чистом виде теплопроводность наблюдается в твердых телах, а в капельных жидкостях и газах – лишь при отсутствии в них конвективных токов.

Конвективный перенос теплоты, возможный только в жидкостях и газах, совершается в результате перемещения их частиц в объеме. В зависимости от причины, вызывающей перемещение частиц жидкости или газа, различают конвективный теплообмен при свободной конвекции и при вынужденной конвекции. Свободная конвекция предполагает перемещение частиц, вызванное исключительно разностью плотностей жидкости или газа в различных частях занимаемого ими объема вследствие различия температур. Конвекция называется вынужденной, когда перемещение частиц жидкости или газа происходит под действием внешних сил (нагнетание насосами, компрессорами и т.п.).

Лучистым теплообменом называется процесс переноса теплоты в виде электромагнитных волн, сопровождающихся превращением тепловой энергии в лучистую и обратно лучистой в тепловую.

В технике рассмотренные способы теплообмена редко встречаются в обособленном виде: чаще всего приходится иметь дело с сочетанием двух или даже всех трех способов при их последовательном или одновременном действии. Особое место занимает теплообмен, сопровождающийся изменением агрегатного состояния тел, участвующих в этом процессе (испарение жидкости, конденсация паров). Различают два случая теплообмена: теплоотдачу и теплопередачу. Теплоотдачей называется процесс теплообмена между твердым телом (например, стенкой аппарата) и соприкасающейся с ней жидкостью или газом. Теплообмен между жидкостями, газами, жидкостью и газом, разделенными стенкой называется теплопередачей.

Сформулируем физические закономерности, определяющие процессы, связанные с распространением тепла.

Закон Фурье: количество тепла dQ, переданного посредством теплопроводности через площадь сечением S изотермической поверхностью тела за время dτ выражается основным уравнением теплопроводности

, Дж. (3.20)

Отрицательный знак в правой части уравнения является следствием падения температуры в направлении переноса теплоты. Коэффициент пропорциональности λ в уравнении называется коэффициентом теплопроводности, λ [Вт/(м·град)]. Он выражается количеством теплоты, переданного за 1 с через 1 м² поверхности тела при градиенте температуры в 1°С на 1 м длины нормали к изотермической поверхности. Величина λ зависит от природы вещества, являясь его индивидуальным свойством. Численные значения λ определяются опытным путем. Величина λ для различных веществ сильно разнится, а для одного и того же вещества зависит от температуры, плотности, структуры, влажности и других факторов.

Уравнение Ньютона: тепловой поток dQ/dτ при конвективном теплообмене пропорционален разности температур (T_c - T), поверхности S твердого тела и соприкасающейся с ним среды

, (3.21)

где T_c, T – температура поверхности твердого тела и потока соответственно;

α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·град).

Коэффициент теплоотдачи α выражает количество тепла, отданного единицей поверхности S = 1 м² в единицу времени τ = 1 с при разности температур (T_c -T) = 1 град.

Заметим, что α не является постоянной величиной, а зависит от многих параметров и прежде всего от гидродинамической обстановки вблизи теплоотдающей поверхности.

Количество теплоты, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на величину ∆T равно

, (3.22)

где c_p –удельная теплоемкость, Дж/(кг·град);

m – масса тела, кг;

ρ – плотность тела, кг/м³;

V – объем тела, м³.

Цель работы: построение зависимостей концентрации субстрата, биомассы и продукта от времени для различных процессов культивирования.

Методика выполнения работы

1. Составить дифференциальные уравнения для процесса культивирования.

2. Составить алгоритм решения.

3. Составить программу для решения дифференциальных уравнений и построить зависимости.

Форма отчета по лабораторной работе №3

1. Название лабораторной работы.

2. Цель работы.

3. Порядок составления системы дифференциальных уравнений.

4. Алгоритм и программа на ЭВМ, выполненная с помощью соответствующих прикладных программ.

5. Результаты в виде графических зависимостей и таблиц.

6. Выводы по проделанной работе.

Лабораторная работа №4. Компьютерное моделирование биологических объектов

Методические указания

Лабораторная работа выполняется с использованием программы RasMol.

RasMol – это компьютерная программа, предназначенная для визуализации молекул и используемая для изучения и получения изображений пространственных структур биологических макромолекул (белков и нуклеиновых кислот). Первая версия программы RasMol была создана Роджером Сэйлом в начале 90-х годов.

RasMol остаtтся лучшей из учебных программ визуализации молекул; кроме того, несмотря на наличие более сложных аналогов, продолжает активно использоваться молекулярными биологами и биоинформатиками. Благодаря простой и логичной структуре пользовательского интерфейса, программа проста для освоения. Система команд («язык» RasMol’а) используется в других программах, например, в Jmol.