Математическое моделирование и исследование национальной экономики - Росс С.И

Глава 2. Методы исследования систем управления на основе теории информации

Введение

Пусть рассматривается некоторая фирма, производящая однородную группу объектов (товаров, услуг и т.д.). Объекты образуют конечное множество элементов X,Y,Z,…,W.

Допустим, что X,Y,Z,…,W – это однородные товары, каждый из которых имеет свой жизненный цикл (ЖЦ), зависящий от состояния рынка, качества товаров, маркетинговой деятельности фирмы и других причин.

Для успешного функционирования фирмы и ее оптимального управления первостепенное значение имеет знание законов распределения случайных величин - ЖЦ каждого товара, поскольку эта информация напрямую связана с принятием решений по изменению ассортимента, направлениям инвестирования и другой деятельностью по управлению фирмой.

Нахождение этих законов представляет собой чрезвычайно сложную экономико-математическую задачу, которую, по-видимому, решить не представляется возможным в силу многообразия начальных условий.

Однако не меньший интерес для менеджеров фирмы представляет знание закона распределения другой случайной величины, так называемой «первой смерти» T{min(X ,Y, Z,W )} товара. Под «первой смертью» понимается завершение ЖЦ («смерть») одного из товаров однородной группы, первое среди ЖЦ остальных товаров.

Знание закона распределения T{min(X ,Y, Z,W )} позволит фирме осуществлять продуманную и своевременную инновационную политику, поскольку завершение ЖЦ («смерть») одного из товаров рассматриваемой группы означает принятие решения о переходе к новой группе с точки зрения структуры ассортимента, либо, по крайней мере, к изменению весов оставшихся товаров.

Рассмотрим формализованные методы анализа системы управления фирмой, основанные на теории информации, позволяющие найти закон распределения момента «первой смерти» товара (не важно какого именно), первый для всей группы.

Эти методы полностью основываются на системном подходе и математическом моделировании, а конкретно на свойствах систем бинарного типа с отношением эквивалентности.

2.1Системы бинарного типа с отношением эквивалентности (П-системы) и их свойства.

Внастоящее время приходится констатировать наличие либо предельно обобщенного математического, либо качественного вербального описания понятия системы, проявляющегося с трех сторон: функциональной, морфологической, информационной (см. список литературы к Главе 1).

11

Такое положение ограничивает возможности количественного анализа системных свойств многокомпонентных объектов, какими являются хозяйственные системы.

Естественный путь преодоления этих трудностей состоит в попытке существенного сужения всего рассматриваемого множества многокомпонентных объектов, относимых к системам, до подмножества, для элементов которого можно дать аксиоматическое определение понятию система и формировать информационные показатели ее синтеза и функционирования.

Проведем такое сужение: из всех множеств элементов с отношением (X, R), где X − множество элементов и R − отношение, рассматриваются только такие множества A конечной мощности n (названные П-системами), для элементов которых бинарное отношение R удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности:

1) для каждых ai A выполняется ai Rai (рефлексивность);

(транзитивность).

Выполнение этих условий приводит к тому, что множество A разбивается отношением эквивалентности R на попарно не пересекающиеся классы эквивалентности a *i : Uai * = A . Это позволяет на количественном

i

уровне анализировать основные системные свойства.

2.2. Состояния П-системы, их классификация

Рассмотрим конечное множество и его разбиение на непересекающиеся классы эквивалентности.

Дадим следующие определения.

Определение. П – системой называется реляционная система с одним отношением эквивалентности.

Определение. Неизоморфные разбиения конечного множества назовем состояниями П - системы.

Очень удобна и наглядна интерпретация П-систем в терминах теории графов, хотя она и страдает некоторой избыточностью по сравнению с диаграммами Юнга. Симметричность и рефлексивность обязывают рассматривать полностью неориентированные графы кратности 1, в которых вершинам поставлены в соответствие элементы П-системы, а ребра отражают тот факт, что соответствующие элементы вступили в бинарное отношение R, т. е. отражают факт наличия понимаемой в каком-либо смысле взаимосвязи между элементами.

Условие транзитивности приводит к тому, что классы эквивалентности ai * П-системы изображаются полными графами (отсюда название этих

систем). Если наличию связи ставить в соответствие 1, а ее отсутствию − 0,

12

то с информационной точки зрения свойства П-системы могут быть отображены квадратной, симметрической матрицей инциденций, т.е. матрицей, состоящей из нулей и единиц.

При этом отношение эквивалентности формирует такую матрицу инциденций, которая путем изменения нумерации элементов всегда может быть преобразована к виду, когда она состоит а) сплошь из единиц или б) из квадратных подматриц, сплошь составленных из единиц, и прямоугольных подматриц, сплошь составленных из нулей.

Для доказательства этого достаточно всем элементам, входящим в каждый класс эквивалентности, поставить в соответствие числа натурального ряда, сплошь заполняющие данный его отрезок.

Это обстоятельство приводит к тому, что у каждой П-системы существует конечное, строго определенное число состояний: под ними будем понимать структуру описывающего П-систему графа (полностью неориентированного, кратности 1) или вид соответствующей матрицы инциденций. В этом для П-систем проявляется принцип ограниченного разнообразия Эшби.

В силу того, что П-система − это система бинарного типа с отношением эквивалентности, ее состояния изображаются или полным графом, или объединением конечного числа полных подграфов.

Общее число состояний П-системы мощности п (обозначим его S n ) соответствует известной теоретико-числовой функции р(п), для которой Харди и Раманужданом построена асимптотическая формула [6]. Для случая п ≤ 8 верна следующая формула, позволяющая сосчитать S n :

Здесь [n/j] − целая часть числа n/j; если (n − lp)<0, то [n − lp /j] ==0. Доказательство этой формулы проведено автором указаний в работе

[5].

Следующий вывод дает представление о числе состояний П-системы, сосчитанных по этой формуле для п ≤ 8:

п 1 2 3 4 5 6 7 8

S n 1 2 3 5 7 11 15 22

Из него следует, что S n удовлетворяет следующим разностным уравнениям:

краткости называть «кольцом» зависимости порядка К, если он состоит из К элементов (вершин).

13

Среди состояний П-системы имеются такие, которые описываются одинаковым числом колец, но разного порядка. Назовем появление таких состояний вырождением.

Справедливо следующее утверждение 1.

Утверждение 1. П-система мощности п имеет ровно п состояний, отличающихся друг от друга числом колец зависимости. Все остальные состояния возникают за счет вырождения.

Доказательство.

Рассмотрим П-систему мощности п. Пусть структура взаимоотношений этой системы описывается нуль-графом. Очевидно, такое состояние содержит п колец зависимости порядка 1 каждое.

Пусть теперь какие-либо два элемента образовали кольцо зависимости порядка 2, а все остальные элементы П-системы образовывают кольца зависимости порядка 1. Это состояние описывается уже п − 1 числом колец зависимости.

Пусть теперь какие-либо три элемента образовали кольцо зависимости порядка 3, а все остальные элементы образовывают кольца зависимости порядка 1. Общее число колец этого состояния равно п − 2. Продолжая аналогичным образом, получим состояния, содержащие п − 3, п − 4, ... 3, 2, 1 кольцо зависимости. Назовем эти состояния опорными и обозначим C (n) , C(n−1) ,…,C (2) , C(1) . Опорные состояния различны по построению.

Поскольку состояние П-системы не может содержать число колец зависимости, большее чем число элементов П-системы, то любое из оставшихся S n - n состояний (назовем их вырожденными) будет содержать число колец зависимости, равное числу колец одного из вышеперечисленных опорных состояний.

Отсюда непосредственно следует, что общее число вырожденных состояний равно R n = S n - п. Утверждение 1 доказано.

Таким образом, число R n = S n - п, зависящее от мощности П-системы, является ее количественной характеристикой. Назовем это число числом расщепления. Из утверждения 1 следует, что R n ≥ 0.

Поясним смысл этого числа.

Оно показывает, сколько у П-системы имеется состояний (без учета опорных), содержащих одинаковое с опорными состояниями число колец зависимости.

В терминах теории графов то же самое можно определить следующим образом: число R n показывает, сколько у П-системы может быть неопорных состояний, описываемых графами, которые можно представить объединениями одинакового (с опорными состояниями) числа полных подграфов.

14

Ниже приведены значения числа расщепления для П-системы мощности п = 1,2, …7, 8:

п 1 2 3 4 5 6 7 8

R n 0 0 0 1 2 5 8 14

Наличие связей (понимаемых в каком-либо смысле) между элементами является необходимым, но недостаточным условием образования П-системы. В этом проявляется свойство целостности П-системы. Поясним сказанное графически (на примере П-системы мощности n=4).

а)

Рис. 1. Изображение в виде графов состояний П-системы мощности n = 4

Рядом с графами представлены соответствующие матрицы инциденций; а − состояния, представимые объединением полных подграфов; б, в − состояния, запрещенные принципом транзитивности бинарной зависимости.

У этой П-системы, как и у всякой П-системы, существует строго определенное число состояний, что отмечалось выше. На рис. 1 они представлены пятью графами. Связи (зависимости) между элементамивершинами − изображены ребрами графа. Рядом с соответствующим графом представлены матрицы инциденций, структура которых и позволяет различать состояния этой П-системы ( S (k ) − ее состояние, k = 1,2,…,5 ).

Рассмотрим теперь ситуацию, изображенную на рис. 1,б Она характеризуется наличием четырех элементов и связей между ними. Однако эта ситуация, хотя и представлена неориентированным графом кратности 1, не соответствует состоянию П-системы.

В самом деле, согласно принципу «кольцевой» зависимости (условие транзитивности), существование установленной связи между элементами № 1 и № 2 (см. рисунок), а также между элементами № 2 и № 3, обеспечивает ее существование между элементами № 1 и № 3 и далее № 3 и № 4.

Это обстоятельство резко сокращает число состояний, равное 2 n , которое возможно в общем случае (принцип необходимого разнообразия).

15

Заметим, что с ростом п увеличивается доля вырожденных состояний в их общем числе S n . Так, для n = 8 эта доля равна уже 0,636.

Впервые вырождение наступает как раз у П-системы мощности п = 4. В самом деле, R 4 = S 4 - 4 = 5 – 4 = 1. Это означает, что у одного из опорных состояний имеется «двойник» в том смысле, что он представим объединением подграфов, содержащих такое же число колец зависимости.

Действительно, как видно из рис.1 а), состояния S(2) и S(3) представимы объединением подграфов, содержащих по два кольца зависимости, но разного порядка.

Таким образом, каждая П-система характеризуется мощностью n, а также числами S n и R n .

Для числа состояний S n П-системы не выполняется свойство аддитивности, т. е.

S n1 + n2 > S n1 + S n2 .

Здесь S n1 + n2 - число состояний П-системы мощности п1 + п2 . Это следует и

из наших данных, и из таблицы, приведенной в книге Эндрюса [6], что говорит о том, что П-системы являются суперсистемами.

2.3 Информационные показатели синтеза П-систем

Элементы, образующие П-систему, могут иметь как стохастическую, так и не стохастическую природу. При этом если удовлетворение отношения R условиям рефлексивности и симметричности зависит исключительно от природы элементов, то для удовлетворения транзитивности требуется выполнение некоторых условий. Эти условия удобно сформулировать в виде ограничений, накладываемых на информационные показатели П-систем.

Пусть ai , a j , ak − элементы стохастической природы, i ≠ j; i,j,k= 1,2,…п.

В качестве R для таких элементов естественно выбрать стохастическую взаимозависимость, выражаемую в терминах теории информации через условную и безусловную энтропию [3]. Очевидно, она удовлетворяет условиям рефлексивности и симметричности.

Но для удовлетворения транзитивности достаточно выполнения следую-

( ai , a j ) − их совместная энтропия. Именно его выполнение приводит к тому,

Другими словами, П-система возникает, если при рассмотрении любых трех элементов такой системы информация об одном из них не настолько уменьшает сумму условных энтропий двух других, чтобы она стала меньше их совместной энтропии.

16

Условие (1.1) следует рассматривать как условие синтеза П-системы из стохастических элементов, для бинарных отношений между которыми выполняются аксиомы симметричности и рефлексивности.

Заметим, что совокупности элементов, которые могут вступать между собой в бинарные отношения только функциональной, или детерминированной, взаимозависимости, являются только П-системами, поскольку для них соотношение (2.1) выполняется всегда.

Покажем достаточность ограничения (2.1) для выполнения требования транзитивности зависимости между стохастическими элементами.

Доказательство

Допустим, что ak взаимозависима в каком-либо смысле с ai и a j , по

отдельности. Тогда справедливы следующие соотношения [3]:

Н ( ai / ak ) < Н ( ai ) и Н ( a j / ak ) < Н ( a j ),

где через H (.) обозначены энтропии от аргумента (.) . Сложим левые и правые части этих неравенств. Имеем

Н ( ai / ak ) + Н ( a j / ak ) < Н ( ai )+ Н ( a j ).

Допустим, что соотношение (1.1) выполнено. Тогда, очевидно, имеем

Н ( ai , a j ) ≤ Н( ai / ak ) + Н ( aj / ak ) < Н ( ai ) +Н ( a j ), т. е. Н ( ai , a j ) < Н ( ai ) +Н ( a j ) , что означает, что элементы ai и ai взаимозависимы. Таким образом,

достаточность доказана.

Но тогда величина K= Н( ai / ak ) + Н ( aj / ak ) - Н ( ai , a j ) может служить информационным показателем синтеза П-системы.

В самом деле, если K ≥0, то П-система возникает, и если K<0, то не возникает; i ≠ k ≠ j; i, k, j = 1,2… п.

Выясним на конкретном примере, какой содержательный смысл можно вложить в условие (1.1).

Приведем пример совокупности стохастических элементов, не являющейся П-системой, и убедимся, что соотношение (2.1) для нее не выполняется, т. е. K< 0.

Пример

Рассмотрим опыт, в результате которого могут возникать следующие три случайных события: А1 − выпадение двух очков при бросании экспериментатором правильной игральной кости левой рукой; А 2 − выпадение двух очков при бросании другой правильной игральной кости правой рукой; А3 − выпадение хотя бы на одной кости двух очков. Бросания

производятся одновременно.

Очевидно, случайные события А1 и А3 , а также А2 и А3 зависимы, в то время как случайные события А1 и А 2 независимы ( A1 A 3 , A 2 A 3 ) .

Свяжем с этим опытом дискретные случайные величины X, Y, Z со следующими законами распределения:

17

В самом деле, P ( z 1 = 1 ) = P ( А1 + А2 ) = P ( А1 ) + P ( А2 ) – P ( А1 )P ( А2 ) = 1/6 + 1/6 – 1/6 1/6 = 11/36.

Ясно, что совокупность этих случайных величин не образует П- систему, так как Х и Z, а также У и Z взаимозависимы, а Х и Y независимы по построению.

Покажем, что H (X,Y) > H(X/Z) + H(Y/Z), т. е К < 0.

В самом деле,

Н (X, Y) = - ∑2= ∑2= p(xi , y j ) ln p(xi , y j ) =

j 1 i 1

= - 1/36 ln(1/36) – 5/6 1/6 ln (5/36) – 1/6 5/6 ln (5/36) – 5/6 5/6 ln( 25/36) = 0.910.

Н (X/ Z) = - ∑2= ∑2= p(xi , z j ) ln p(xi / z j ) =

j 1 i 1

=- 1/6 ln ( 6/11) - 5/6 1/6 ln (5/11) - 0 - 5/6 5/6 ln 1 = 0.206.

Всилу симметрии задачи

H(X/Z)=H(Y/Z).

Тогда

H(X,Y) = 0.910; H(X/Z) + H(Y/Z) = 0.412.

Полученные результаты противоречат условию синтеза П-системы, поскольку K = - 0.412.

Вернемся к исходной задаче.

Исследуется закон распределения момента «смерти» (потери спроса) одного из товаров этой группы (не важно какого), первый для всей группы.

18

Например, можно говорить о группе трикотажных товаров, (производимой некоторой фирмой), состоящих из четырех наименований. Пусть это носки ( Н ), колготки ( К ), гольфы ( Г ), чулки ( Ч ). В случае «смерти» любого из членов товарной группы производитель должен принять решение об изменении ассортимента.

Пусть теперь случайные величины X, Y, Z и W характеризуют «возраст» (например, этап ЖЦ) каждого из перечисленных товаров, т.е. X – «возраст» носков, Y – колготок и т.д. Данная совокупность образует однородную группу попарно взаимосвязанных между собой товаров.

Пусть f (X,Y,Z,W) – плотность распределения вероятностей этих случайных величин. Найти эту функцию, как уже отмечалось, не представляется возможным.

Однако производителю важно знать закон распределения другой случайной величины – момента “смерти” (снятия с производства) одного из членов этой группы, первого для нее.

Обозначим его T (min {X,Y,Z,W } ) . Зная закон распределения этой случайной величины, можно рассчитать длину жизненного цикла всей группы товаров.

Поскольку X , Y , Z , W -− непрерывные случайные величины, то условие (1.1) в явном виде выписывается следующим образом:

H (X1 , X 3 ) = − ∞∫ ∞∫ f13 (х1 , x3 ) ln f13 (x1 , x3 )dx1dx3 ≤

∞∞

Мы использовали обозначения X1 , X 2 , X 3 для любых трех элементов множества {X, Y, Z , W}.

В маркетинговых исследованиях Х1 , Х2 , Х3 характеризуются

следующими дифференциальными функциями: − законом распределения Эрланга

f ( x ) = x n−1 [( N – 1 )!] −1 ν N exp ( - ν x ),

где N,ν − параметры,

− логнормальным распределением

f ( x ) = 1/ σ ( ln (x )) ( 2π ) 1 / 2 exp ( - ½ ( ln x – a( ln x ) / σ ( ln x )) 2 ,

19

Для логнормального и обобщенного экспоненциального распределения условие (1.6) выполняется, а для распределения Эрланга не выполняется.

Отсюда вытекает важный результат теории систем бинарного типа с отношением эквивалентности (П-систем): срок жизни каждого элемента как члена однородной группы, рассматриваемый как случайная величина, должен подчиняться обобщенному экспоненциальному (однопараметрическому) или логнормальному (двухпараметрическому) распределению.

Срок жизни, возможно, может подчиняться еще какому-либо распределению, но выяснение этого − задача отдельных исследований.

Итак, рассматривается однородная группа товаров – группа из четырех наименований: носков (Н, будем обозначать также индексом 1) , колготок (К, индексом 2), гольфов (Г, индексом 3) и чулок (Ч, индексом 4).

Поскольку элементы рассматриваемой группы товаров в силу однородности взаимозависят друг от друга, то эта группа товаров – П- система, состояние которой инвариантно относительно времени и описывается одним полным графом.

Следовательно, для этой системы и ее элементов (носков, колготок, гольфов и чулок), рассматриваемой как множество мощности 4, должно выполняться транзитивное замыкание для элементов любого его подмножества, состоящего из трех элементов.

Имеем следующие четыре подмножества этого множества:

-Н – Г - Ч ( подмножество НГЧ )

-К – Г – Ч (подмножество КГЧ )

-Н – К – Ч (подмножество НКЧ)

-Н – Г - К (подмножество НГК)

Рассмотрим любое из этих подмножеств.

Оно будет П-системой, если выполняется транзитивное замыкание бинарных отношений между его элементами.

Следовательно, для того, чтобы однородная группа товаров, рассматриваемая как множество, была П-системой необходимо и достаточно одновременное выполнение транзитивного замыкания для всех элементов каждого из множеств НГК, НКЧ, КГЧ и НГЧ .

В общем случае, для однородной группы, состоящей их N товаров (множества мощности N) , одновременное выполнение транзитивного замыкания должно выполняться для C 2N (числа сочетаний из N элементов по

два) подмножеств данного множества, состоящих из трех элементов.

20