Математическое моделирование и исследование национальной экономики - Росс С.И

Выясним, какие соотношения между параметрами λ 1 , λ 2 , λ 3 дифференциальных функций распределения f i (x) должны выполняться ,

чтобы осуществилось транзитивное замыкание для трех элементов любого из множеств НГК, НКЧ, КГЧ и НГЧ .

Для этого подставим выражения (2.4) и (2.3) в неравенство (2.2), вспомнив, что

fij ( x i / x j ) = f ij ( x i , x j ) / f j ( x j ), i ≠ j.

В результате громоздких преобразований имеем следующее

С учетом конкретных значений k1 = 0.09783 и k = 0.21942 (точность расчета 10-5 ) окончательно, получаем

ln ( λ 1 λ 3 ) ≥ 1.51678.

Тогда для П-системы - множества из 4 элементов: Н, К, Г, Ч - должна выполняться следующая система неравенств:

ln ( λ λ 4 ) ≥ 1.51678

1

ln ( λ λ 4 ) ≥ 1.51678

3

ln ( λ 1 λ 3 ) ≥ 1.51678 ln ( λ 3 λ 2 ) ≥ 1.51678 ln ( λ 3 λ 4 ) ≥ 1.51678 ln ( λ 2 λ 4 ) ≥ 1.51678.

Найдем решение этой системы, соответствующее нижней границе достаточного условия выполнения транзитивного замыкания. Оно соответствует случаю равенств. В итоге получаем:

λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 2.12.

Нетрудно видеть, что мы получим значение для любого числа членов в однородной группе товаров.

Таким образом, распределение случайной величины T{min(X,Y,Z,W)} описывается следующим законом

f ( x ) = (1/ek) λ exp ( - λ x ) /( 1 + λ x )

при условии, что параметр λ =2.12.

Полученный результат позволяет рассчитать важнейшую для производителя характеристику: вероятность того, что с момента t ( до которого в группе товаров не было «смертельных» случаев ) и до момента

Отсюда следует другой важный результат применения теории П- систем к экономике рынка: указанная вероятность не зависит от числа элементов, составляющих однородную группу.

21

Полученный результат обобщается и на другие области исследования систем управления экономическими объектами.

2.4 Применение теории П-систем к задачам исследования управления страховыми и инвестиционными компаниями

В математике страхования жизни рассматривается задача о нахождении распределения случайной величины T{min(X,Y,Z,W)} – срока возникновения страхового случая («первой» смерти) у группы однородных страхователей, например у семьи, состоящей из мужа (X), жены (Y), дочери

(Z) и сына (W) .

Для ее решения можно использовать приведенное выше решение задачи маркетинговых исследований.

Полученное там решение дает возможность найти распределение вероятностей случайной величины T{min (X,Y,Z,W)}. При этом это распределение не зависит от числа страхователей в однородной группе.

Очевидно, что это решение позволяет рассчитать величину страхового аннуитетного платежа (что важно для страхователя) и величину нетто и брутто премии (что важно для успешного функционирования страховой компании).

Покажем теперь эффективность применения теории П-систем к задачам количественной оценки природных и техногенных рисков при управлении инвестициями в объекты промышленного и гражданского строительства (строительство атомных станции, гидроэлектростанций, нефтепроводов и т.д.).

Пусть X,Y,Z,W − потоки случайных событий (оползней, карстовых разломов, размывов почвы, землетрясений и т.д.) − от, допустим, четырех участков пятна застройки. Эти случайные процессы взаимозависимы, так как являются проявлением сейсмической активности ядра Земли.

Ищется распределение случайной величины T{min(X,Y,Z,W)} − срока наступления «первого смертельного» случая − природного или техногенного катаклизма на каком-либо (не важно каком) участке пятна застройки. Решение этой задачи приведено выше.

Задаваясь (из соображений конкретной задачи) уровнем вероятности появления «смертельного события», (например , 0.7) , можно исходя из таблицы вероятностей распределения «смертельных случаев» определить интервал времени, через который такое событие произойдет или (как противоположное событие), интервал времени в течение которого «смертельное событие» не произойдет.

Например, можно найти с фиксированной вероятностью, выбор которой обусловливается экономическими и экологическими факторами, срок функционирования без экологических интервенций в окружающую среду («смертельных событий») таких потенциально опасных объектов, атомная станция или нефтепровод.

В настоящее время управление инвестиционными компаниями в области строительства немыслимо без оценки экологических характеристик

22

объекта инвестирования. При этом управление проектами сопровождается работой со страховыми компаниями.

Страхование [2] как известно, разделяется на обязательное (соответствующие виды страхования устанавливаются законом) и добровольное (по договору между страхователем и страховщиком).

Примером обязательного страхования является страхование ответственности за причинение вреда при эксплуатации опасного производственного объекта, введенное в действие Статьей 15 Закона РФ «О промышленной безопасности опасных производственных объектов».

Этой Статьей определена обязательность страхования ответственности за причинение вреда жизни, здоровью или имуществу других лиц и окружающей природной среде в случае аварии на опасном производственном объекте.

Тарифная ставка, по которой заключается договор страхования, как известно, носит название брутто-ставки, которая, в свою очередь, состоит из нетто-ставки и нагрузки. Собственно, нетто-ставка выражает ожидаемый уровень потерь от пожара, наводнения, взрыва и т.д.

Воснове построения нетто-ставки по любому виду страхования лежит вероятность наступления страховых случаев, например рассмотренных выше «смертельных событий».

Расчеты тарифных ставок осуществляются с помощью актуарных расчетов (системы математических и статистических закономерностей), регламентирующих взаимоотношения между страховщиком и страхователями. Актуарные расчеты позволяют оценивать ожидаемый уровень потерь общества вследствие чрезвычайных ситуаций, обусловленных промышленными авариями, то есть техногенный риск.

С помощью актуарных расчетов определяется доля участия каждого страхователя в создании страхового фонда, что и определяет, в конечном счете, размеры тарифных ставок.

Внастоящее время в РФ ущерб, нанесенный авариями, катастрофами, стихийными бедствиями измеряются затратами, которые возмещает государство. По данным МЧС России затраты на компенсацию материальных потерь от аварий, катастроф и стихийных бедствий составляют около 5 миллиардов рублей за счет средств федерального бюджета и около 7 миллиардов рублей за счет средств российских страховых компаний.

Всовременных экономических условиях возможности государства по возмещению потерь от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера крайне ограничены и основным резервом улучшения положения в этой области является страхование соответствующих рисков.

Нахождение закона распределения случайной величины T{min(X,Y,Z,…,W)} − «первого смертельного» события для случая экологического страхования соответствует нахождению закона распределения первой природной или техногенной катастрофы, обусловленной конечной группой факторов риска X,Y,Z,…,W (социального,

23

индивидуального, экономического характера и других типов риска от различных природных и технологических опасностей).

Как известно из статистики наблюдений за природными и техногенными катаклизмами [4] , распределение интервалов между последовательными катастрофами (в каком – либо участке территории, подверженной карстовым провалам), подчиняется логнормальному распределению.

Средний за определенный интервал времени риск события A

где P(A) – повторяемость события A, имеющая размерность обратную времени, Y (A) – возможный одномоментный ущерб от события A, имеющий размерность потерь.

Повторяемость обычно оценивается частотой события A , равной числу появления события в единицу времени, или другими словами, интенсивностью потока событий.

В работе [4] предложено риск, определенный по формуле (2.9), называть комбинированным или приведенным (к единице времени) в соответствии со своим классификатором риска. Автором этой работы

Как следует из формулы (2.11) , событийный риск представляет собой одну из характеристик опасности «смертельного события» (в терминологии автора указанной выше работы – негативного события), в то время как стоимостный риск является показателем уязвимости объекта – системы (населения, жилой застройки и т.д.).

Эти представления корреспондируют с методологией исследования систем управления на основе П-систем.

В самом деле, в качестве события A нами рассматривается событие, состоящее в том, что за определенный интервал времени произойдет «смертельное событие» (природная или техногенная катастрофа ).

Вероятность этого события вычисляется по формуле (2.8), выведенной для элементов П-системы. Но жилая застройка, население какого-либо региона и т.д., рассматриваемые как системы попарно взаимосвязанных элементов, в точности представляют собой П-систему.

Следовательно, для (R*)(A) можно воспользоваться результатами, представленными в разделе 2.3.

Размеры ущерба, или стоимостного риска, в каждом конкретном случае зависят, с одной стороны, от интенсивности негативного события (объем и скорость перемещения масс, пород, снега, воды, объем выброса, разлива, зоны поражения и т.д.), а с другой от уязвимости поражаемого объекта.

Под уязвимостью поражаемого объекта понимается степень возможных потерь объекта или его отдельных элементов (люди, здания,

24

дороги, угодья, флора, фауна и т.д.), обусловленных действием на него поражающих факторов определенной интенсивности.

Ниже изложен статистический метод оценки интенсивности негативного события [1].

2.5 Статистический метод количественной оценки интенсивности негативного события

Количественная оценка устойчивости территорий в отношении провалов, как известно, проводится по целому ряду показателей [4]. Однако основным среди них является интенсивность провалообразования – среднегодовое количество карстовых провалов, отнесенное к единице площади.

Точность его определения играет первостепенную роль в оценке надежности территории для строительства, т.е. в оценке вероятности того, что в течение определенного заданного времени эта территория не будет поражена карстовыми провалами диаметрами, превышающими фиксированную величину.

Этот показатель представляет собой, как всякая средняя, случайную величину, и должен быть охарактеризован через свой закон распределения. Оценка этого закона может быть проведена на основании регистрации периодичности провалов, т.е. промежутков времени, через которые на площади 1 квадратный километр появляется один провал.

Для решения этой задачи строится гистограмма распределения этих интервалов, которая затем аппроксимируется подходящим аналитическим законом, параметры которого определяются, например, методом максимального правдоподобия. При этом средняя периодичность провалов вычисляется как математическое ожидание длины интервалов, а среднегодовое количество карстовых провалов – как обратная ей величина.

Однако этот простой алгоритм нуждается в серьезном теоретическом обосновании, поскольку гистограмма будет использована корректно, если допустить, что интервалы между провалами являются статистически независимыми и представляют собой реализации одинаково распределенных случайных величин.

В данном разделе рассматривается статистический метод оценки степени достоверности этого допущения на основе имеющихся эмпирических данных.

Эта задача может быть переформулирована как задача оценки взаимосвязи временных потоков провалов ( как событий на временной оси ) от двух расчетных участков.

Потребуем выполнения следующего условия − в распоряжении исследователя имеются синхронные записи потоков провалов каждого отдельно взятого участка и двух вместе.

Пусть это условие выполнено.

25

Обозначим через Х1 первый поток провалов, а через Х2 - второй. Предположим, что Х1 и Х2 − потоки восстановления, т. е. выполнены следующие допущения:

1)случайные величины x1, x2, ... (интервалы между провалами) независимы;

2)функции распределения величин x2, x3, ... одинаковы, т. е. Р(хk < t) = F(t)

для k = 2, 3, 4, ...

Заметим, что функция распределения F1(t) = Р(x1 < t) не обязана быть

равной функциям распределения остальных интервалов, т. е. F1(t) ≠ F(t). Функцию F(t) = Р(хk < t), k = 2,3, ... называют функцией распределения потока восстановления. Для нахождения функции распределения первого интервала стационарного ординарного потока восстановления используем следующее утверждение (1).

Рис. 2. Схема образования суперпозиции потоков. ti, ti’ − моменты появления событий (провалов)

Утверждение 1. Пусть Х − стационарный и ординарный поток восстановления. Пусть F(t) − функция распределения потока, а F1(t) − функция распределения первого интервала, т. е. F1(t) = P (x1 < t).

Пусть μ − среднее время между событиями потока восстановления.

если независимы случайные величины х1,х2, х3 ..., y1, y2, y3 ... Здесь x1,x2, ... − длины интервалов потока X, y1,y2, ... − длины интервалов потока Y.

Далее, пусть Х и Y − два потока. Снесем моменты появления событий потоков Х и Y на одну ось, как показано на рис.2. Поток Z, соответствующий полученной последовательности провалов, будем называть объединением (наложением), или суперпозицией потоков Х и Y.

Справедливо утверждение 2.

Утверждение 2. Пусть Х и Y − независимые стационарные ординарные потоки восстановления. Пусть F1( X ) и F1(Y ) − функции распределения первого интервала времени для потоков Х и Y соответственно, а Fx Fy − функция распределения объединения потоков Х и Y. Тогда

26

независимости потоков Х1 и Х2 не следует отвергать. Следовательно, алгоритм оценки взаимн й независимости потоков сводится к проверке следующей основной гипотезы H.

Гипотеза H. Распределения FZ и FX1 FX 2 совпадают.

Проверку этой гипотезы естественно осуществить с помощью критерия согласия Смирнова-Колмогорова.

Выдвинем гипотезу H1: структура потока каждого договора удовлетворяет следующей модели.

Если x - интервал между провалами, последовательность появления которых составляет поток, то плотность вероятности fj(x) в такой модели описывается следующим выражением:

Здесь Nj = 1,2, ..., νj > 0, j =1,2. Распределение (2.12), как известно, является распределением Эрланга.

Для проверки гипотезы Н1 используем метод максимального правдоподобия и критерий согласия χ2. Можно считать, что хi > 0 для i = 1,2, ..., n. Проверку гипотезы Н1 разобьем на два этапа.

Первый этап будет состоять в нахождении таких чисел N* и ν*, для которых соответствующая функция правдоподобия достигает максимума. Второй этап − проверка гипотезы H1, где N = N* и ν = ν*, с помощью критерия согласия χ2. Перейдем к подробному описанию этапов 1 и II.

Этап 1. Нахождение N*, ν*. Очевидно, что функция правдоподобия для последовательности значений интервалов между провалами при условии выполнения гипотезы H1 имеет вид

Здесь xr − вектор с координатами x1,x2,...xn. Требуется найти такие значения ν* и N* параметров ν и N, при которых достигается глобальный максимум функции правдоподобия L( x ,N,ν).

Далее будем придерживаться следующих обозначений:

27

Заметим, что из классического неравенства о среднем арифметическом S/n и среднем геометрическом n r следует, что g ≥ 1; причем g = 1 тогда и только тогда, когда выполняется равенство x1 = x2 = ... = xn.

Прежде чем приступить к нахождению N* и ν*, отметим, что справедливо следующие утверждения (3 и 4).

Утверждение 3. Пусть δk = (1 + 1/k)k+1, где k = 1, 2, . . . Тогда

а) если g > 1 и δ1 ≤ gе, то δk ≤ ge при k = 1,2,...;

б) если g > 1 и δ1 > gе, то существует и единственно такое натуральное

число k0, что δk > ge при 1 ≤ k < k0 и δj ≤ gе при j ≥ k0;

в) если g = 1, то δk > gе при k = 1,2,... (здесь е - основание натуральных логарифмов).

Утверждение 4.

Случай 1. Пусть число g > 1. Тогда глобальный максимум функции правдоподобия L( xr,N,ν) достигается при ν* = nN*/S, причем

а) если gе ≥ 4, то N* = 1;

б) если gе < 4, то N* = k0.

Случай 2. Если g = 1, то функция правдоподобия не ограничена сверху и потому глобального максимума не существует.

Этап II. Проверка гипотезы H1 с помощью критерия согласия χ2 проводится обычным образом.

В качестве показателя уязвимости объекта предлагается использовать степень уязвимости, представляющую собой отношение пораженных (разрушенных) объектов (элементов) к общему их числу в зоне поражения, зафиксированное для событий определенной интенсивности, вычисленной по предложенному статистическому методу.

Степень уязвимости предлагается выражать в долях единицы от возможных полных потерь в поражаемой зоне.

Ущерб в формулах риска (1.10) и (1.11) связан со степенью уязвимости

где CY(A) − степень уязвимости объекта при осуществлении события А определенной интенсивности, YП(A) – условный полный ущерб от события А, равный численности населения, количеству или стоимости всех объектов (элементов) в зоне поражения.

Степень интенсивности можно определить отдельно для каждого объекта по эмпирическим зависимостям зависимости ущерба в социальной, экономической или экологической сферах от интенсивности этих процессов, полученным по результатам статистической обработки фактических данных или по данным моделирования негативных событий на основе использования теории систем бинарного типа с отношением эквивалентности ( П – систем).

28

Заключение

Полученные результаты представляют собой решения ряда экономических задач, позволяющих осуществлять на количественной основе поддержку управления сложными хозяйственными системами:

−страховыми компаниями, осуществляющими политику в разных видах страхования,

−банками и инвестиционными компаниями за счет выбора оптимальной политики инвестирования,

−фирмами за счет прогнозирования их финансового состояния. Полученные результаты не требуют проведения специальных

статистических исследований или анализа уже имеющихся баз данных. Это обусловлено тем обстоятельством, что срок “жизни” каждого из рассматриваемых стохастических элементов системы управления: человека, элементов микросреды фирмы (финансовой службы, бухгалтерии, производства, службы маркетинга и т.д.), подразделений строительной или промышленной корпорации, товаров, услуг и многих других подчиняется одному и тому же закону распределения.

Литература:

1.Ковбаса С.И. Статистическая оценка независимости интервалов в динамических моделях процессов исков //Известия РАЕН. Серия: Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. Том 4. – 2000.- №3. – с. 89-98.

2.Кудрявцев А.А. Математика страхования жизни. В 2-х выпусках. Вып.1 оценка обязательств компании страхования жизни. – СПб.: Институт страхования, 1999. – 258 с.

3.Кульбак К. Теория информации.- М.: Физматгиз. 1976. – 457 с.

4.Рагозин А.Л. Оценка и картографирование опасности и риска от природных и техноприродных процессов ( методика и примеры)// Проблемы безопасности при чрезвычайных ситуациях. – 1993.- Вып.3. –

с.16-41.

5.Росс С.И. Теория систем бинарного типа с отношением эквивалентности и ее применения в экономических исследованиях // Известия СанктПетербургского университета экономики и финансов.-2003. № 2. – с.17-34.

6.Эндрюс Г. Теория разбиений. – М.:Наука,1982. – 252 с.

29

Глава 3. Метод исследования социально-экономических систем управления на основе математического моделирования этики бизнеса

Введение

В настоящее время очень популярным стал метод исследования социально-экономических систем управления, названный « прикладной этикой» (applied ethics). Его сущность состоит в рассмотрении проблем морали во всех экономических, социальных и политических ситуациях, требующих этического подхода.

Особенно активно развиваются такие направления прикладной этики, как этика бизнеса, этика окружающей среды, биоэтика, этика средств массовой информации, космическая этика и т.д.

Первые исследования, посвященные роли этического фактора в экономике, были выполнены в США. Теперь уже общепринято во всем мире, что строгое соблюдение этических норм является важным условием адекватного принятия решений и развития предпринимательства.

В данной главе показано как можно посредством моделирования и количественного изучения влияния этических сторон бизнеса на такие микроэкономические характеристики региона, как обеспеченность товарами и услугами, вероятность кризисной ситуации (связанной, например, с нехваткой в течение некоторого времени особенно важного для жизни региона товара или услуги ) и др. принимать оптимальные управленческие решения, касающиеся региональной социально-экономической системы.

3.1 Постановка задачи

Вморали оцениваются практические действия людей (поведение), их мотивы, побуждения и намерения. Строго говоря, мораль проявляется в поведении, во взаимоотношениях между людьми. Моральной оценке в жизни подвергаются нравственные качества личности, отдельные поступки человека, движущие мотивы конкретных действий.

Нет ни одной области человеческой жизни, где не присутствовала бы мораль, связанная со всеми видами и сферами человеческой деятельности. Но эта связь очень сложна, поскольку помимо морали во всех сферах действуют и другие регуляторы поведения - правовые нормы, декреты государства, уставы и инструкции и т.д.

Вморали принято различать, такие понятия как должное и сущее. Должное – это некий идеал того, как следует поступать, т.е. « идеальные» требования. Сущее – это многообразие практических действий людей.

Следовательно, должное и практически принятое совпадают не всегда и, если совпадают, то не полностью.

Можно предположить, что этика предпринимательства обладает как общими чертами, так и определенными различиями в зависимости социально-экономических условий в конкретном регионе.

Существуют два основных подхода к оценке влияния этики на бизнес.

30