2.4. Теорема остроградского - гаусса

Проинтегрируем [8, стр. 43] уравнение (2.10) по замкнутой поверхности , в левой части (см. рис. 2.3) и по объему - в правой части уравнения:

. (2.16)

Уравнение (2.16) отражает смысл теоремы Остроградского-Гаусса:

Поток вектора через любую замкнутую поверхность площади равен интегралу от дивергенции вектора по объему , заключенному внутри этой поверхности.

2.5. Циркулшия вектора по контуру

Пусть в некоторой области пространства ( ) задано поле вектора . Построим в этом пространстве воображаемый замкнутый контур , рисунок 2.4:

Рисунок 2.4

Спроектируем вектор на элемент длины контура . Из рисунка 2.4 видно, что . Считая условным вектором, указывающим направление "обхода" контура , полу­чаем, согласно правила СКАЛЯРНОГО произведения векторов:

, (2.17)

Интегрируя (2.17) по замкнутому контуру , имеем

(2.18)

Выражение (2.18) носит название циркуляции вектора по контуру , [8, стр. 43-46]. Заметим, что по определению, - СКАЛЯР.

2.6. Ротор вектора

Начнем сжимать контур , уменьшая его размеры, к точке " ", (рис. 2.4). Поскольку площадь и периметр контура станут убывать, уменьшится и циркуляция (2.18). При , а их отношение будет стремиться к некоторому ПРЕДЕЛУ

, (2.19)

который носит название РОТОРА вектора , [8, стр. 46-48].

Наличие в точке " " означает, что в окрестности этой точки существует ПОЛЕ вектора ВИХРЕВОГО типа (рис. 2.5).

Рисунок 2.5

Ротор вектора считают ПСЕВДОВЕКТОРОМ, направление ко­торого определяется правилом правого винта и зависит от направления обхода контура (см. направление векто­ра на рис. 2.5).

Если спроецировать контур на плоскости ( ), ( ), ( ) декартовой системы координат (рис. 2.4) можно найти проек­ции вектора на оси .

Согласно (2.18), (2.19) и рисунку 2.4:

, (2.20)

Вычисление правых частей уравнений (2.20) [8, стр. 46-48], дает следующие значения проекций РОТОРА вектора на координатные оси:

, (2.21)

Из системы уравнений (2.21) и определения ВЕКТОРА следует, что

, (2.22)

Для записи функции в операторной форме, перемножим векторно НАБЛА-ОПЕРАТОР (2.22) и вектор

. (2.23)

По определению векторного произведения

.

Аналогично:

.

Согласно (2.21):

. (2.23)

Таким образом, в соответствии с (2.23) и (2.22), получаем выражение для функции в операторной форме:

(2.24)

2.7. Теорема стокса

По определению РОТОРА вектора , (формула 2.19), цирку­ляция вектора по контуру с площадью (рис. 2.6) оп­ределяется выражением

(2.25)

Поскольку в данном случае

(2.26)

величина совпадает с его проекцией на единичную нормаль к элементарной площадке . Величина же имеет смысл элементарного потока вектора через пло­щадки . На основании (2.26) можно также утверждать, что

где определяется формулой (2.5).

Рисунок 2.6

Действительно:

(2.27)

поскольку .

Из (2.25) и (2.27) следует, что

. (2.28)

"Заполним" контур конечных размеров с площадью (рис. 2.4) набором множества малых контуров с площадями каждый (рис .2.6).

Интегрируя в левой части уравнения (2.28) от 0 до , а в правой части от 0 до , получим:

(2.29)

Величина С имеет смысл СУММАРНОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ вектора по всей элементарным контурам площади , наполняющих контур с пло­щадью . Известно [8, стр. 48-49], что такая циркуляция НЕ ОТЛИ­ЧАЕТСЯ от циркуляции вектора по ПЕРИМЕТРУ КОНТУРА (формула (2.18)). Приравнивая левые части (2.18) и (2.29), имеем:

(2.30)

Формула (2.30) является математической записью теоремы Стокса [8, стр. 48-49].

Циркуляция вектора по контуру равна потоку векто­ра через произвольную поверхность , огра­ниченную этим контуром.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ по главе 2

Некоторые из полученных результатов сведены в итоговую таблицу 2.1, облегчающую ПОНИМАНИЕ и ЗАПОМИНАНИЕ основных положений теории ПОЛЯ, необходимых для овладения программой курса "ОСНОВЫ ОПТИКИ".

Таблица 2.1 – Характеристики наиболее употребляемых функций теории поля

Наимено-вание функции и ее название	Вектор или скаляр	Запись функции в декартовой системе координат	Запись функции в опера­торной форме	Смысл функции
1. Градиент скалярной функции	ВЕКТОР			Направление векто­ра показыва­ет направление быстрейшего возрастания функции
2. Диверген-ция вектора	СКАЛЯР			Характеризует наличие источников или "стоков" векторного поля в пространстве
3. РОТОР вектора	ВЕКТОР			В окрестности лю­бой точки простран­ства, где существует векторное поле вихре­вого типа.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 2