2.2 Дифференциальные уравнения
2.2.1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение вида:
или 
,
то есть, уравнение,
содержащее неизвестную функцию
и её производные до n-го
порядка.
Так, например:
,
или
- это дифференциальное уравнение первого
порядка;
- дифференциальное
уравнение второго порядка.
Из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку старшей производной, содержащейся в нём.
Решением дифференциального уравнения называется любая функция
,
которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Пример 16 Проверить (самостоятельно), будут ли функции
;
;
;
решениями дифференциального уравнения
.
Решение:
Рассмотрим уравнения первого порядка.
(1)
имеет место следующая
теорема Коши
Если функция
определена и непрерывна в области
вместе со своей частной производной
,
то для всякой точки
,
принадлежащей области
,
в некоторой её окрестности, существует
единственное решение
,
удовлетворяющее начальному условию
при
. (2)
Условия (2) называются начальными условиями.
Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку M0 области проходит единственная интегральная кривая.
Задачей Коши называют задачу о нахождении решения дифференциального уравнения
, (1)
удовлетворяющее начальным условиям
. (2)
Вышеприведённую теорему называют теоремой о существовании и единственности решения задачи Коши.
Общим решением
дифференциального уравнения первого
порядка называют функцию
такую, что
при любом
она является решением дифференциального
уравнения (1);каковы бы ни были начальные условия (2), всегда можно найти такое
,
что
удовлетворяет начальным условиям (2).
Частным решение называется решение, полученное из общего при конкретном значении .
2.2.2 Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнение с разделёнными переменными
или
.
Решая первое
уравнение, получим
.
Интегрируя, найдём
общее решение
.
Решая второе,
получим
.
Интегрируя, найдём общее решение.
Уравнение с разделяющимися переменными,
или
.
Разделим обе части
первого уравнения
на
и умножим на
,
получим уравнение с разделёнными
переменными
Для второго
уравнения: разделим обе части на
произведение
,
получим также уравнение с разделёнными
переменными
.
Операция деления
уравнения на произведение
называется разделением
переменных.
При делении на произведение можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения
.
Определяя из этого уравнения решения , следует проверить, является ли оно решением исходного уравнения. Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. Если входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым.
Пример 17 Решить
уравнение
.
Решение:
Разделим уравнение
на произведение
,
получим:
.
Интегрируя, получим общий интеграл:
.
В этом уравнении
имеет вид
.
Его решение
,
является решением исходного уравнения,
но не входит в общий интеграл. Следовательно,
решение
,
является особым.
Пример 18 Найти
общее решение
.
Решение:
;
;
интегрируя, найдем общее решение
или
;
;
;
Однородные уравнения.
Функция
называется однородной
степени
,
если для любых
и
выполняется равенство
Если функции
и
однородные одной и той же степени
,
то дифференциальное уравнение
называется однородным.
Однородное уравнение всегда можно привести к виду
,
решается подстановкой:
или
; 
.
Пример 19 Решить
.
Решение:
Данное уравнение
является однородным, т.е. функции
,
однородные степени
.
Сделаем замену Тогда уравнение
перепишется так:
;
;
разделяя переменные, получим:
;
;
;
Так как у нас
,
то
,
,
.